1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、月複利で €12 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0003.6% / 12n = 9
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
24 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2502.4% / 12N = 288
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000 です。3 年間、毎年末に €18 500 を生み、その後 €12 500 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF = €18 500S = €12 500n = 3r = 6%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€25 000 の投資が 7 年間、毎年末に €4 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €25 000CF = €4 000n = 7
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 6% のときに、残存期間 12 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 6.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 12y0 = 6%y1 = 6.5%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 9 年後に満期を迎え、€845 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 9P = €845
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 7%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 11%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €39.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 28% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.5rf = 2.5%rm = 8%rd = 7%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €25 で売られ、変動費は 1 個あたり €20 です。固定費は月 €4 000 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €4 000p = €25v = €20利益 = €2 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €5 000 です。予算販売量は 4 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €5 000p = €22v = €20予算 = 4 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 16584 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·9 = 108
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.003)108 = 12 000·1.382 = €16 583.72
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 97236 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·24 = 288
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(1.778 − 1)/0.002 = €97 235.69
自分で払い込んだのは €72 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 9946 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −50 000 + 49 450.72 + 10 495.24 = €9 945.96
4.NPV と IRR
答え: IRR = 2.916 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−7)/i = 25 000/4 000 = 6.25
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 2%: 6.472
i = 3%: 6.23
IRR = 2.916%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = 2.369 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €80.00, i = 0.06, N = 12
€80.00·(1 − 0.497)/0.06 + €1 000·0.497 = €670.71 + €496.97 = €1 167.68
売却価格
C = €80.00, i = 0.065, N = 11
€80.00·(1 − 0.5002)/0.065 + €1 000·0.5002 = €615.12 + €500.21 = €1 115.34
保有期間利回り
HPR = (80 + 1 115.34 − 1 167.68)/1 167.68 = 2.369%
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.537 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€845 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(8%) = €875.06, P(9%) = €820.14
YTM = 8.537%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.3 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·11% + 0.5·7%·(1 − 0.2) = 8.3%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.11 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€39.50 = €39 500 000
D = 5 000·€1 000 = €5 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.5·5.5% = 10.75%
ウェイト
V = €44 500 000, E/V = 0.8876, D/V = 0.1124
WACC
WACC = 0.8876·10.75% + 0.1124·7%·(1 − 0.28) = 10.11%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1200 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (4 000 + 2 000)/5 = 1 200
10.損益分岐点分析
答え: MS = 37.5 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 5 000/2 = 2 500
安全余裕率
MS = (4 000 − 2 500)/4 000·100 = 37.5%