1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 20%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 20%m = 12
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
14 年間、毎月末に €150 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1504.8% / 12N = 168
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€5 000, €5 000, €6 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 9%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 5 000CF3 = 6 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €3 500, €5 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 8%CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 3 500CF3 = 5 000
MIRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 5.5%n = 8
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、4 年後に満期を迎えます。価格は €1 167 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8% (2×)n = 4P = €1 167
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.25 の株式の要求収益率は 8.5% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.25re = 8.5%rf = 3.5%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €20.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 3%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 3%rm = 7.5%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €12 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €6 400 です。月 €5 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €6 400p = €12v = €4利益 = €5 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €25 000 です。予算販売量は 3 130 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €25 000p = €22v = €12予算 = 3 130
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 21.94 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.01667)12 − 1 = 1.219 − 1 = 21.94%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 35832 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·14 = 168
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(1.956 − 1)/0.004 = €35 832.25
自分で払い込んだのは €25 200。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −6571 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 5 000/1.09 = 4 587.16
CF2/(1 + 0.09)2 = 5 000/1.188 = 4 208.40
CF3/(1 + 0.09)3 = 6 000/1.295 = 4 633.10
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: MIRR = 14.97 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
5 500·1.082 = 6 415.20
3 500·1.081 = 3 780.00
5 000·1.080 = 5 000.00
TV = 15 195.20
MIRR
MIRR = (15 195.20/10 000)1/3 − 1 = 14.97%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 775.9 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0275, N = 16
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.6479)/0.0275 = €128.05
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 3.49 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: rm = 7.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (8.5% − 3.5%)/1.25 = 4%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.619 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€20.50 = €41 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3% + 1.2·4.5% = 8.4%
ウェイト
V = €61 000 000, E/V = 0.6721, D/V = 0.3279
WACC
WACC = 0.6721·8.4% + 0.3279·4%·(1 − 0.258) = 6.619%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1425 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (6 400 + 5 000)/8 = 1 425
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20.13 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 25 000/10 = 2 500
安全余裕率
MS = (3 130 − 2 500)/3 130·100 = 20.13%