1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €3 000 を 15 年間支払います。利率は年 7% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €3 000i = 7%n = 15
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
23 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1002.4% / 12N = 276
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000 です。4 年間、毎年末に €10 000 を生み、その後 €4 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €40 000CF = €10 000S = €4 000n = 4r = 8%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €25 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €13 500, €13 500, €14 000, €14 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 12%CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 13 500CF3 = 14 000CF4 = 14 500
MIRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、8 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 6% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%YTM = 6%n = 8
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 10 年後に満期を迎え、€905 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 10P = €905
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €1 000 000re = 13%rd = 4.5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €5 000 000、株主資本コストは 14% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 8 年）からなり、1 枚 €1 103 で取引されています。税率は 25% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €5 000 000re = 14%債券: 5 000 × €1 103クーポンレート = 5%n = 8T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €10 000、1 個あたりの変動費が €15 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €15 000、1 個あたりの変動費が €10 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €10 000vA = €15FB = €15 000vB = €10
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €36 で売られ、変動費は 1 個あたり €30、固定費は年 €9 000 です。予算販売量は 2 100 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €9 000p = €36v = €30予算 = 2 100
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 27324 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.3624)/0.07 = 9.108
現在価値
PV = 3 000·9.108 = €27 323.74
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 36788 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·23 = 276
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(1.736 − 1)/0.002 = €36 788.29
自分で払い込んだのは €27 600。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −3939 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −40 000 + 33 121.27 + 2 940.12 = −€3 938.61
4.NPV と IRR
答え: MIRR = 27.51 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
13 500·1.123 = 18 966.53
13 500·1.122 = 16 934.40
14 000·1.121 = 15 680.00
14 500·1.120 = 14 500.00
TV = 66 080.93
MIRR
MIRR = (66 080.93/25 000)1/4 − 1 = 27.51%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1063 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €35.00, i = 0.03, N = 16
クーポンの現在価値
€35.00·(1 − 0.6232)/0.03 = €439.64
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.514 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(9%) = €935.82, P(10%) = €877.11
YTM = 9.514%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.12 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.8·13% + 0.2·4.5%·(1 − 0.2) = 11.12%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.035 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1103 = 50·(1 − (1 + y)−8)/y + 1000/(1 + y)8
y = 3.501%
時価
D = 5 000·€1 103 = €5 515 000
V = €10 515 000, E/V = 0.4755, D/V = 0.5245
WACC
WACC = 0.4755·14% + 0.5245·3.501%·(1 − 0.25) = 8.035%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
10 000 + 15Q = 15 000 + 10Q
Q について解く
Q = (15 000 − 10 000)/(15 − 10) = 1 000
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 9 000/6 = 1 500
安全余裕率
MS = (2 100 − 1 500)/2 100·100 = 28.57%