1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 22%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 22%m = 365
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 のローンを 20 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €200 0004.8% / 12N = 240
A = €
3.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€28 000, €27 000, €23 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −60 000CF1 = 28 000CF2 = 27 000CF3 = 23 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€10 000 の投資が 3 年間、毎年末に €4 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €10 000CF = €4 500n = 3
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 3.5%n = 3
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 9 年後に満期を迎え、€855 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 9P = €855
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 3.5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1 です。負債資本比率を 0.75 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1D/E1 = 0.2D/E2 = 0.75T = 25.8%rf = 2.5%rm − rf = 6%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €14 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €10 000 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €10 000p = €14v = €4利益 = €2 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €45 で売られ、変動費は 1 個あたり €25、固定費は年 €16 000 です。予算販売量は 1 280 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €16 000p = €45v = €25予算 = 1 280
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 24.6 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 期あたりの利率
r/m = 0.22/365 = 0.0006027
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0006027)365 − 1 = 1.246 − 1 = 24.6%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1298 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·20 = 240
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3836
A = 200 000·0.004/(1 − 0.3836) = €1 297.91
3.NPV と IRR
答え: NPV = −113.4 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 28 000/1.15 = 24 347.83
CF2/(1 + 0.15)2 = 27 000/1.322 = 20 415.88
CF3/(1 + 0.15)3 = 23 000/1.521 = 15 122.87
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 16.65 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−3)/i = 10 000/4 500 = 2.222
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 16%: 2.246
i = 17%: 2.21
IRR = 16.65%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 957.6 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0175, N = 6
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.9011)/0.0175 = €56.49
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.464 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€855 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数値的に解く
P(9%) = €880.10, P(10%) = €827.23
YTM = 9.464%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.362 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25
WACC
WACC = 0.75·9% + 0.25·3.5%·(1 − 0.3) = 7.362%
8.CAPM と WACC
答え: re = 10.63 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1/(1 + 0.742·0.2) = 0.8708
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.8708·(1 + 0.742·0.75) = 1.355
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.355·6% = 10.63%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1200 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (10 000 + 2 000)/10 = 1 200
10.損益分岐点分析
答え: MS = 37.5 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 16 000/20 = 800
安全余裕率
MS = (1 280 − 800)/1 280·100 = 37.5%