コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€5 000 を年 4%、連続複利で投資します。2 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €5 000r = 4%t = 2

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 4.2%、月複利で €15 000 を借り、毎月末に €350 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €15 000A = €3504.2% / 12

N = 回

3.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€12 000, €22 000, €22 000, €15 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 22 000CF₃ = 22 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €14 000, €13 500, €7 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 13 500CF₃ = 7 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、14 年後に満期を迎えます。最終利回りが 6% から 5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 14y₁ = 6%y₂ = 5%

ΔP = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 045 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 5P = €1 045

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €30.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.2r_f = 1.5%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €30 で売られ、変動費は 1 個あたり €20 です。固定費は月 €15 000 です。月 €5 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €15 000p = €30v = €20利益 = €5 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 6 400 個を各 €18 で販売しており、1 個あたりの変動費は €12、固定費は €24 000 です。販売量が 5% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 6 400p = €18v = €12F = €24 000%ΔQ = +5%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 5416 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.04·2 = 0.08

e^0.08 = 1.083

将来価値

FV = 5 000·1.083 = €5 416.44

答え

FV = €5 416.44

2.貨幣の時間価値

答え: N = 47 回

年金の公式を変形する

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0035/350 = 0.85

対数を使って解く

N = −ln(0.85)/ln(1.004) = 46.52

返済回数を整数に切り上げる

46 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 47

答え

N = 47 回

3.NPV と IRR

答え: NPV = 16254 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 12 000/1.06 = 11 320.75

CF₂/(1 + 0.06)² = 22 000/1.124 = 19 579.92

CF₃/(1 + 0.06)³ = 22 000/1.191 = 18 471.62

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 15 000/1.262 = 11 881.40

合計する

NPV = €16 253.71

答え

NPV = €16 253.71

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 38.37 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(35%) = 826.09

NPV(40%) = −379.01

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 35 + 5·826.09/(826.09 − (−379.01)) = 38.43%

正確な値: NPV(38.37%) = 0 → IRR = 38.37%

答え

IRR = 38.37%

5.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 111.1 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €80.00, i = 0.06, N = 14

€80.00·(1 − 0.4423)/0.06 + €1 000·0.4423 = €743.60 + €442.30 = €1 185.90

新しい利回りでの価格

C = €80.00, i = 0.05, N = 14

€80.00·(1 − 0.5051)/0.05 + €1 000·0.5051 = €791.89 + €505.07 = €1 296.96

変化

ΔP = 1 296.96 − 1 185.90 = €111.06

答え

ΔP = €111.06

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 2.044 %

利回りの方程式

€1 045 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(2%) = €1 047.13, P(3%) = €1 000.00

YTM = 2.044%

答え

YTM = 2.044%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 11.58 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·14% + 0.2308·5%·(1 − 0.3) = 11.58%

答え

WACC = 11.58%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.361 %

時価

E = 2 000 000·€30.00 = €60 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.2·7% = 9.9%

ウェイト

V = €64 800 000, E/V = 0.9259, D/V = 0.07407

WACC

WACC = 0.9259·9.9% + 0.07407·3.5%·(1 − 0.25) = 9.361%

答え

WACC = 9.361%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 2000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 30 − 20 = €10

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (15 000 + 5 000)/10 = 2 000

答え

Q = 2 000 個

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = 13.33 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 6 400·6 = €38 400

Π = 38 400 − 24 000 = €14 400

DOL

DOL = 38 400/14 400 = 2.667

利益の変化

%ΔΠ = 2.667·(+5%) = +13.33%

答え

%ΔΠ = +13.33%

確認：新しい利益 = 6 720·6 − 24 000 = €16 320.00。

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