1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
4 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €15 0003.6% / 12n = 4
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを 25 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €150 0004.2% / 12N = 300
A = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、6 年間、毎年末に €15 500 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 15 500CF2 = 15 500CF3 = 15 500CF4 = 15 500CF5 = 15 500CF6 = 15 500
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 500, €18 500, €16 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 18 500CF3 = 16 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 5.5%n = 3
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 10 年後に満期を迎え、€935 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 10P = €935
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.5 です。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 3%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.5re = 12%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 5 000 000 株で、€40.50 で取引されています。株主資本の簿価は €60 800 000 です。1 株あたり €2.80 の配当を支払ったところで、配当は年 3% 成長します。負債の時価は €60 800 000、税引前コストは 5% です。税率は 25.8% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 5 000 000P0 = €40.50株主資本の簿価 = €60 800 000D0 = €2.80g = 3%D = €60 800 000rd = 5%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €65 で売られ、変動費は 1 個あたり €45 です。固定費は月 €20 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €20 000p = €65v = €45利益 = €12 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 7 500 個を各 €22 で販売しており、1 個あたりの変動費は €12、固定費は月 €50 000 です。1 個あたりの変動費が €2 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 7 500p = €22v = €12 → €14F = €50 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 12991 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·4 = 48
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.155 = €12 991.12
2.貨幣の時間価値
答え: A = 808.4 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·25 = 300
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3506
A = 150 000·0.0035/(1 − 0.3506) = €808.41
3.NPV と IRR
答え: DPB = 4.09 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 15 500/1.1 = 14 090.91 → Σ = 14 090.91
年度 2: 15 500/1.21 = 12 809.92 → Σ = 26 900.83
年度 3: 15 500/1.331 = 11 645.38 → Σ = 38 546.21
年度 4: 15 500/1.464 = 10 586.71 → Σ = 49 132.91
年度 5: 15 500/1.611 = 9 624.28 → Σ = 58 757.19
最後の年の端数
DPB = 4 + 867.09/9 624.28 = 4.09
割引回収期間は、常に単純回収期間（3.226 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 51.04 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(50%) = 296.30
NPV(55%) = −1 067.60
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 50 + 5·296.30/(296.30 − (−1 067.60)) = 51.09%
正確な値: NPV(51.04%) = 0 → IRR = 51.04%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 904.4 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0275, N = 6
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.8498)/0.0275 = €54.62
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 9.013 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(9%) = €935.82, P(10%) = €877.11
YTM = 9.013%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.79 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·12% + 0.3333·3%·(1 − 0.21) = 8.79%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.641 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 2.8·1.03 = €2.88
re = 2.884/40.5 + 0.03 = 10.12%
時価
E = 5 000 000·€40.50 = €202 500 000
V = €263 300 000, E/V = 0.7691, D/V = 0.2309
WACC
WACC = 0.7691·10.12% + 0.2309·5%·(1 − 0.258) = 8.641%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1600 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (20 000 + 12 000)/20 = 1 600
10.損益分岐点分析
答え: Q = 9375 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 7 500·(22 − 12) − 50 000 = €25 000
同じ利益に必要な個数
Q = (50 000 + 25 000)/8 = 9 375