1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
2 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €50 0006% / 4n = 2
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €250 0002.4% / 12N = 360
A = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €20 000 で、5 年間、毎年末に €7 000 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 7 000CF3 = 7 000CF4 = 7 000CF5 = 7 000
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は €20 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €7 500, €8 500, €10 500, €6 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 8 500CF3 = 10 500CF4 = 6 000
MIRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 3.5%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは 4% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 6YTM = 4%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €3 000 000、負債の価値は €2 000 000 です。WACC は 8.04%、税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €3 000 000D = €2 000 000WACC = 8.04%rd = 5%T = 28%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 4 000 000 株で、€46.00 で取引されています。株主資本の簿価は €55 200 000 です。1 株あたり €1.60 の配当を支払ったところで、配当は年 4% 成長します。負債の時価は €110 400 000、税引前コストは 5% です。税率は 28% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 4 000 000P0 = €46.00株主資本の簿価 = €55 200 000D0 = €1.60g = 4%D = €110 400 000rd = 5%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 10 000 個を各 €31 で販売しています。1 個あたりの変動費は €25、固定費は €24 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 10 000p = €31v = €25F = €24 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 750 個を各 €35 で販売しており、1 個あたりの変動費は €20、固定費は月 €7 500 です。1 個あたりの変動費が €5 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 750p = €35v = €20 → €25F = €7 500
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 44386 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·2 = 8
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.126 = €44 385.56
2.貨幣の時間価値
答え: A = 974.9 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·30 = 360
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.4871
A = 250 000·0.002/(1 − 0.4871) = €974.85
3.NPV と IRR
答え: DPB = 3.163 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 7 000/1.05 = 6 666.67 → Σ = 6 666.67
年度 2: 7 000/1.103 = 6 349.21 → Σ = 13 015.87
年度 3: 7 000/1.158 = 6 046.86 → Σ = 19 062.74
年度 4: 7 000/1.216 = 5 758.92 → Σ = 24 821.65
最後の年の端数
DPB = 3 + 937.26/5 758.92 = 3.163
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.857 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: MIRR = 15.52 %
修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入の終価
7 500·1.063 = 8 932.62
8 500·1.062 = 9 550.60
10 500·1.061 = 11 130.00
6 000·1.060 = 6 000.00
TV = 35 613.22
MIRR
MIRR = (35 613.22/20 000)1/4 − 1 = 15.52%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1031 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0175, N = 14
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €246.44
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 5.349 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 50/1.04 = 48.08, t·PV = 48.08
t = 2: 50/1.082 = 46.23, t·PV = 92.46
t = 3: 50/1.125 = 44.45, t·PV = 133.35
t = 4: 50/1.17 = 42.74, t·PV = 170.96
t = 5: 50/1.217 = 41.10, t·PV = 205.48
t = 6: 1050/1.265 = 829.83, t·PV = 4 978.98
デュレーション
P = 1 052.42
D = 5 629.31/1 052.42 = 5.349
7.CAPM と WACC
答え: re = 11 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €5 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4
WACC の負債の部分
0.4·5%·(1 − 0.28) = 1.44%
株主資本コスト
re = (8.04% − 1.44%)/0.6 = 11%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.111 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.6·1.04 = €1.66
re = 1.664/46 + 0.04 = 7.617%
時価
E = 4 000 000·€46.00 = €184 000 000
V = €294 400 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·7.617% + 0.375·5%·(1 − 0.28) = 6.111%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 1.667
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 10 000·(31 − 25) = €60 000
営業利益
Π = 60 000 − 24 000 = €36 000
DOL
DOL = 60 000/36 000 = 1.667
10.損益分岐点分析
答え: Q = 1125 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 750·(35 − 20) − 7 500 = €3 750
同じ利益に必要な個数
Q = (7 500 + 3 750)/10 = 1 125