1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
5 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 3%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €20 0003% / 4n = 5
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
5 年後に €100 000 が欲しいとします。年 3%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €100 0003% / 12N = 60
A = €
3.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€18 000, €9 000, €22 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 8%CF0 = −45 000CF1 = 18 000CF2 = 9 000CF3 = 22 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €4 500, €5 500, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 5 500CF3 = 6 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 2.5%n = 11
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 7 年後に満期を迎え、€895 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 7P = €895
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.25 です。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.25re = 8%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 11% です。負債は 4 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%、残存期間 10 年）からなり、1 枚 €1 119 で取引されています。税率は 28% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €15 000 000re = 11%債券: 4 000 × €1 119クーポンレート = 6%n = 10T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €45 で売られ、変動費は 1 個あたり €25 です。固定費は月 €50 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €50 000p = €45v = €25利益 = €10 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 3 200 個を各 €31 で販売しており、1 個あたりの変動費は €25、固定費は €12 000 です。販売量が 15% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 3 200p = €31v = €25F = €12 000%ΔQ = −15%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 17224 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.03/4 = 0.0075
N = 4·5 = 20
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.161 = €17 223.80
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1547 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·5 = 60
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0.0025/(1.162 − 1) = €1 546.87
3.NPV と IRR
答え: NPV = −3153 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 18 000/1.08 = 16 666.67
CF2/(1 + 0.08)2 = 9 000/1.166 = 7 716.05
CF3/(1 + 0.08)3 = 22 000/1.26 = 17 464.31
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 27.82 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(25%) = 448.00
NPV(30%) = −325.44
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 25 + 5·448.00/(448.00 − (−325.44)) = 27.9%
正確な値: NPV(27.82%) = 0 → IRR = 27.82%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1239 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.0125, N = 22
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.7609)/0.0125 = €478.26
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.018 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€895 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(8%) = €895.87, P(9%) = €849.01
YTM = 8.018%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.2 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8
D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2
WACC
WACC = 0.8·8% + 0.2·5%·(1 − 0.2) = 7.2%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.216 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1119 = 60·(1 − (1 + y)−10)/y + 1000/(1 + y)10
y = 4.496%
時価
D = 4 000·€1 119 = €4 476 000
V = €19 476 000, E/V = 0.7702, D/V = 0.2298
WACC
WACC = 0.7702·11% + 0.2298·4.496%·(1 − 0.28) = 9.216%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 3000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (50 000 + 10 000)/20 = 3 000
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −40 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 3 200·6 = €19 200
Π = 19 200 − 12 000 = €7 200
DOL
DOL = 19 200/7 200 = 2.667
利益の変化
%ΔΠ = 2.667·(−15%) = −40%
確認：新しい利益 = 2 720·6 − 12 000 = €4 320.00。