1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€20 000 を年 5%、連続複利で投資します。3 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 000r = 5%t = 3
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
22 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €505.4% / 12N = 264
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €8 000, €8 000, €9 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 6%CF0 = −30 000CF1 = 7 000CF2 = 8 000CF3 = 8 000CF4 = 9 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €9 000 で、9 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF1 = €9 000g = 3%n = 9r = 8%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 7%n = 6
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 7 年後に満期を迎え、€1 095 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €6 000 000 の普通株、価値 €2 000 000 の優先株、価値 €2 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 14%、優先株のコストは 7%、税引前負債コストは 4.5% です。税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000Ps = €2 000 000D = €2 000 000re = 14%rp = 7%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €52.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 2%rm = 8.5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 5 000 個を各 €9 で販売しています。1 個あたりの変動費は €6、固定費は €7 500 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 5 000p = €9v = €6F = €7 500
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 3 750 個を各 €18 で販売しており、1 個あたりの変動費は €6、固定費は月 €30 000 です。1 個あたりの変動費が €2 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 3 750p = €18v = €6 → €8F = €30 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 23237 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.05·3 = 0.15
e0.15 = 1.162
将来価値
FV = 20 000·1.162 = €23 236.68
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 25242 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·22 = 264
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(3.272 − 1)/0.0045 = €25 242.03
自分で払い込んだのは €13 200。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −2430 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 7 000/1.06 = 6 603.77
CF2/(1 + 0.06)2 = 8 000/1.124 = 7 119.97
CF3/(1 + 0.06)3 = 8 000/1.191 = 6 716.95
CF4/(1 + 0.06)4 = 9 000/1.262 = 7 128.84
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: NPV = −17488 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.03)/(1.08))9 = 0.6527
PV = 9 000/(0.08 − 0.03)·(1 − 0.6527) = 62 511.94
NPV
NPV = 62 511.94 − 80 000 = −€17 488.06
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: P = 903.4 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €25.00, i = 0.035, N = 12
クーポンの現在価値
€25.00·(1 − 0.6618)/0.035 = €241.58
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.504 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数値的に解く
P(2%) = €1 129.44, P(3%) = €1 062.30
YTM = 2.504%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.48 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 6 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €10 000 000
E/V = 0.6, Ps/V = 0.2, D/V = 0.2
WACC
WACC = 0.6·14% + 0.2·7% + 0.2·4.5%·(1 − 0.25) = 10.48%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.453 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€52.50 = €52 500 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.1·6.5% = 9.15%
ウェイト
V = €72 500 000, E/V = 0.7241, D/V = 0.2759
WACC
WACC = 0.7241·9.15% + 0.2759·4%·(1 − 0.25) = 7.453%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 2
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 5 000·(9 − 6) = €15 000
営業利益
Π = 15 000 − 7 500 = €7 500
10.損益分岐点分析
答え: Q = 4500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 3 750·(18 − 6) − 30 000 = €15 000
同じ利益に必要な個数
Q = (30 000 + 15 000)/10 = 4 500