コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4.8%、四半期複利で €12 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €12 0004.8% / 4n = 10

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

18 年後に €10 000 が欲しいとします。年 4.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €10 0004.2% / 12N = 216

A = €

3.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€24 000, €35 000, €16 000, €37 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 24 000CF₂ = 35 000CF₃ = 16 000CF₄ = 37 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

€40 000 の投資が 6 年間、毎年末に €10 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €40 000CF = €10 500n = 6

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 4 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 7% のとき €831 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 4P = €831YTM = 7%

c = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、12 年後に満期を迎えます。価格は €1 097 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5% (2×)n = 12P = €1 097

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 6%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。

E = €4 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 21%、無リスク金利は 3%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.9D/E = 1.5T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €14 で売られ、変動費は 1 個あたり €6 です。固定費は月 €16 000 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €16 000p = €14v = €6利益 = €2 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €1 000 です。予算販売量は 900 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €1 000p = €22v = €20予算 = 900

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 19338 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·10 = 40

将来価値

FV = 12 000·(1 + 0.012)⁴⁰ = 12 000·1.611 = €19 337.56

答え

FV = €19 337.56

2.貨幣の時間価値

答え: A = 31.06 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·18 = 216

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0.0035/(2.127 − 1) = €31.06

答え

A = €31.06

3.NPV と IRR

答え: NPV = 19288 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 24 000/1.07 = 22 429.91

CF₂/(1 + 0.07)² = 35 000/1.145 = 30 570.36

CF₃/(1 + 0.07)³ = 16 000/1.225 = 13 060.77

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 37 000/1.311 = 28 227.12

合計する

NPV = €19 288.15

答え

NPV = €19 288.15

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 14.76 %

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 40 000/10 500 = 3.81

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 14%: 3.889

i = 15%: 3.784

IRR = 14.76%

答え

IRR = 14.76%

5.債券の価格と利回り

答え: c = 2.011 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.07)⁻⁴ = €762.90

クーポン

C = (831 − 762.90)/3.387 = €20.11

クーポン・レート

c = 20.11/1000 = 2.011%

答え

c = 2.011%

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.503 %

1 期あたり

C = €22.50, N = 24

数値的に解く

i = 1.751% 半年あたり

YTM

YTM = 2·1.751% = 3.503%

答え

YTM = 3.503%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.392 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €10 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·12% + 0.6·6%·(1 − 0.28) = 7.392%

答え

WACC = 7.392%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 10.87 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.9·(1 + 0.79·1.5) = 1.967

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 3% + 1.967·4% = 10.87%

答え

r_e = 10.87%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 2250 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 14 − 6 = €8

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (16 000 + 2 000)/8 = 2 250

答え

Q = 2 250 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 44.44 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 1 000/2 = 500

安全余裕率

MS = (900 − 500)/900·100 = 44.44%

答え

MS = 44.44%

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