コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

3 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 2%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €50 0002% / 4n = 3

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 4.8%、月複利で €20 000 を借り、毎月末に €900 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €20 000A = €9004.8% / 12

N = 回

3.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €30 000 です。6 年間、毎年末に €7 000 を生み、その後 €6 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €30 000CF = €7 000S = €6 000n = 6r = 8%

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €8 000, €4 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €22 000 で、€6 000, €9 500, €11 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −22 000, 6 000, 9 500, 11 000

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、10 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 2% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 10y₁ = 3%y₂ = 2%

ΔP = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 9 年後に満期を迎え、€900 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%n = 9P = €900

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式は 5 000 000 株で、€21.00 で取引されています。株主資本の簿価は €52 500 000 です。1 株あたり €1.20 の配当を支払ったところで、配当は年 3% 成長します。負債の時価は €63 000 000、税引前コストは 3% です。税率は 25.8% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。

N = 5 000 000P₀ = €21.00株主資本の簿価 = €52 500 000D₀ = €1.20g = 3%D = €63 000 000r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €16 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €24 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €24 000p = €16v = €4利益 = €6 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は月に 1 000 個を各 €31 で販売しており、1 個あたりの変動費は €25、固定費は月 €4 800 です。1 個あたりの変動費が €3 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？

Q = 1 000p = €31v = €25 → €28F = €4 800

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 47095 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.02/4 = 0.005

N = 4·3 = 12

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.062 = €47 095.27

答え

PV = €47 095.27

2.貨幣の時間価値

答え: N = 24 回

年金の公式を変形する

i = 0.004

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.004/900 = 0.9111

対数を使って解く

N = −ln(0.9111)/ln(1.004) = 23.32

返済回数を整数に切り上げる

23 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 24

答え

N = 24 回

3.NPV と IRR

答え: NPV = 6141 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

7 000·4.623 = 32 360.16

残存価値の現在価値

6 000/1.587 = 3 781.02

NPV

NPV = −30 000 + 32 360.16 + 3 781.02 = €6 141.18

答え

NPV = €6 141.18

4.NPV と IRR

答え: r* = 3.152 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 6 000 − 11 500 = −5 500

ΔCF₂ = 9 500 − 8 000 = 1 500

ΔCF₃ = 11 000 − 4 500 = 6 500

差の IRR

NPV_Δ(3%) = 22.51

NPV_Δ(4%) = −123.15

r* = 3.152%

答え

r* = 3.152%

確認：3.152% では両方の NPV が €2 767.23 です。

5.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 112.4 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €80.00, i = 0.03, N = 10

€80.00·(1 − 0.7441)/0.03 + €1 000·0.7441 = €682.42 + €744.09 = €1 426.51

新しい利回りでの価格

C = €80.00, i = 0.02, N = 10

€80.00·(1 − 0.8203)/0.02 + €1 000·0.8203 = €718.61 + €820.35 = €1 538.96

変化

ΔP = 1 538.96 − 1 426.51 = €112.44

答え

ΔP = €112.44

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 6.503 %

利回りの方程式

€900 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数値的に解く

P(6%) = €931.98, P(7%) = €869.70

YTM = 6.503%

答え

YTM = 6.503%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.49 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €14 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·13% + 0.2857·6%·(1 − 0.3) = 10.49%

答え

WACC = 10.49%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.388 %

株主資本コスト

D₁ = 1.2·1.03 = €1.24

r_e = 1.236/21 + 0.03 = 8.886%

時価

E = 5 000 000·€21.00 = €105 000 000

V = €168 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·8.886% + 0.375·3%·(1 − 0.258) = 6.388%

答え

WACC = 6.388%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 2500 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 16 − 4 = €12

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (24 000 + 6 000)/12 = 2 500

答え

Q = 2 500 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 2000 個

現在の利益

Π = 1 000·(31 − 25) − 4 800 = €1 200

1 個あたりの新しい貢献利益

31 − 28 = €3

同じ利益に必要な個数

Q = (4 800 + 1 200)/3 = 2 000

答え

Q = 2 000 個

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