1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€20 000 を年 3%、連続複利で投資します。4 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 000r = 3%t = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
18 年間、毎年初めに €6 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。18 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €6 000i = 7%n = 18
FV = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。1 年目の末に €11 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 4% ずつ増加します。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €11 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€10 000 の投資が 9 年間、毎年末に €2 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €10 000CF = €2 500n = 9
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 11 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 2.5% のとき €1 238 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 11P = €1 238YTM = 2.5%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 10 年後に満期を迎え、€810 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 10P = €810
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.5 の株式の要求収益率は 11.75% です。無リスク金利は 2% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.5re = 11.75%rf = 2%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 13% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 7 年）からなり、1 枚 €1 092 で取引されています。税率は 30% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €15 000 000re = 13%債券: 2 000 × €1 092クーポンレート = 5%n = 7T = 30%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €35、1 個あたりの変動費は €15 です。固定費は月 €80 000 で、利益には 25% の税金がかかります。税引後で €24 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €35v = €15F = €80 000T = 25%税引後利益 = €24 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 1 200 個を各 €53 で販売しており、1 個あたりの変動費は €45、固定費は月 €6 400 です。1 個あたりの変動費が €4 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 1 200p = €53v = €45 → €49F = €6 400
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 22550 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.03·4 = 0.12
e0.12 = 1.127
将来価値
FV = 20 000·1.127 = €22 549.94
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 218274 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.07)18 − 1)/0.07 = 34
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 6 000·34·1.07 = €218 273.79
3.NPV と IRR
答え: NPV = 20000 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 11 000/(0.09 − 0.04) = 220 000.00
NPV
NPV = 220 000.00 − 200 000 = €20 000.00
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 20.24 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−9)/i = 10 000/2 500 = 4
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 20%: 4.031
i = 21%: 3.905
IRR = 20.24%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 5.002 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.025)−11 = €762.14
クーポン
C = (1238 − 762.14)/9.514 = €50.02
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.524 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€810 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(5%) = €845.57, P(6%) = €779.20
YTM = 5.524%
7.CAPM と WACC
答え: rm = 8.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (11.75% − 2%)/1.5 = 6.5%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 11.66 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
1092 = 50·(1 − (1 + y)−7)/y + 1000/(1 + y)7
y = 3.496%
時価
D = 2 000·€1 092 = €2 184 000
V = €17 184 000, E/V = 0.8729, D/V = 0.1271
WACC
WACC = 0.8729·13% + 0.1271·3.496%·(1 − 0.3) = 11.66%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 5600 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
24 000/(1 − 0.25) = €32 000
必要な販売量
Q = (80 000 + 32 000)/20 = 5 600
10.損益分岐点分析
答え: Q = 2400 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 1 200·(53 − 45) − 6 400 = €3 200
同じ利益に必要な個数
Q = (6 400 + 3 200)/4 = 2 400