1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€20 000 を年 8%、連続複利で投資します。14 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 000r = 8%t = 14
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €20 0006% / 12N = 60
A = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000 です。6 年間、毎年末に €5 500 を生み、その後 €7 500 で売却できます。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €30 000CF = €5 500S = €7 500n = 6r = 6%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €19 500, €18 500, €19 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 19 500CF2 = 18 500CF3 = 19 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 3% のときに、残存期間 3 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 2% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 3y0 = 3%y1 = 2%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 5P = €1 065
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €3 000 000re = 8%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株主資本の時価は €15 000 000、株主資本コストは 10% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%、残存期間 4 年）からなり、1 枚 €951 で取引されています。税率は 30% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。
E = €15 000 000re = 10%債券: 2 000 × €951クーポンレート = 7%n = 4T = 30%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €10 000、1 個あたりの変動費が €15 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €16 000、1 個あたりの変動費が €12 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €10 000vA = €15FB = €16 000vB = €12
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €12 000 です。予算販売量は 1 440 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €12 000p = €22v = €12予算 = 1 440
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 61297 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.08·14 = 1.12
e1.12 = 3.065
将来価値
FV = 20 000·3.065 = €61 297.08
2.貨幣の時間価値
答え: A = 386.7 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·5 = 60
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.7414
A = 20 000·0.005/(1 − 0.7414) = €386.66
3.NPV と IRR
答え: NPV = 2332 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −30 000 + 27 045.28 + 5 287.20 = €2 332.49
4.NPV と IRR
答え: IRR = 20.15 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 92.59
NPV(25%) = −2 832.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·92.59/(92.59 − (−2 832.00)) = 20.16%
正確な値: NPV(20.15%) = 0 → IRR = 20.15%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = 4.867 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €60.00, i = 0.03, N = 3
€60.00·(1 − 0.9151)/0.03 + €1 000·0.9151 = €169.72 + €915.14 = €1 084.86
売却価格
C = €60.00, i = 0.02, N = 2
€60.00·(1 − 0.9612)/0.02 + €1 000·0.9612 = €116.49 + €961.17 = €1 077.66
保有期間利回り
HPR = (60 + 1 077.66 − 1 084.86)/1 084.86 = 4.867%
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.479 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 065 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(5%) = €1 086.59, P(6%) = €1 042.12
YTM = 5.479%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.526 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727
WACC
WACC = 0.7273·8% + 0.2727·3.5%·(1 − 0.258) = 6.526%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.544 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
負債コスト（YTM）
951 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1000/(1 + y)4
y = 8.496%
時価
D = 2 000·€951 = €1 902 000
V = €16 902 000, E/V = 0.8875, D/V = 0.1125
WACC
WACC = 0.8875·10% + 0.1125·8.496%·(1 − 0.3) = 9.544%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
10 000 + 15Q = 16 000 + 12Q
Q について解く
Q = (16 000 − 10 000)/(15 − 12) = 2 000
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 16.67 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 12 000/10 = 1 200
安全余裕率
MS = (1 440 − 1 200)/1 440·100 = 16.67%