1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
5 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 3%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €15 0003% / 12n = 5
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€20 000 のローンを、年 5.4%、月複利で 4 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €20 0005.4% / 12N = 48
I = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €100 000 です。5 年間、毎年末に €20 000 を生み、その後 €20 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF = €20 000S = €20 000n = 5r = 12%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €8 500, €12 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 8 500CF3 = 12 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 3.5%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 10 年後に満期を迎え、€1 080 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 10P = €1 080
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €10 000 000、負債の価値は €5 000 000 です。WACC は 8.11%、税引前負債コストは 6%、税率は 28% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €10 000 000D = €5 000 000WACC = 8.11%rd = 6%T = 28%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €32.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 30% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 3.5%rm = 8.5%rd = 3.5%T = 30%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €17 で売られ、変動費は 1 個あたり €15 です。固定費は月 €5 000 です。月 €5 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €5 000p = €17v = €15利益 = €5 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 3 130 個を各 €51 で販売しており、1 個あたりの変動費は €45、固定費は €15 000 です。販売量が 12% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 3 130p = €51v = €45F = €15 000%ΔQ = −12%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 12913 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·5 = 60
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.162 = €12 913.04
2.貨幣の時間価値
答え: I = 2282 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 48
A = 20 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−48) = €464.22
利息の総額
I = N·A − P = 48·464.2 − 20 000 = €2 282.49
3.NPV と IRR
答え: NPV = −16556 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −100 000 + 72 095.52 + 11 348.54 = −€16 555.94
4.NPV と IRR
答え: IRR = 21.91 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 636.57
NPV(25%) = −960.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·636.57/(636.57 − (−960.00)) = 21.99%
正確な値: NPV(21.91%) = 0 → IRR = 21.91%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 907.6 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0175, N = 14
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €123.22
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.013 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 080 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(4%) = €1 081.11, P(5%) = €1 000.00
YTM = 4.013%
7.CAPM と WACC
答え: re = 10.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC の負債の部分
0.3333·6%·(1 − 0.28) = 1.44%
株主資本コスト
re = (8.11% − 1.44%)/0.6667 = 10.01%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.717 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€32.00 = €80 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.2·5% = 9.5%
ウェイト
V = €90 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111
WACC
WACC = 0.8889·9.5% + 0.1111·3.5%·(1 − 0.3) = 8.717%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 5000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (5 000 + 5 000)/2 = 5 000
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −59.62 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 3 130·6 = €18 780
Π = 18 780 − 15 000 = €3 780
DOL
DOL = 18 780/3 780 = 4.968
利益の変化
%ΔΠ = 4.968·(−12%) = −59.62%
確認：新しい利益 = 2 754·6 − 15 000 = €1 526.40。