コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €1 000 を 11 年間支払います。利率は年 6% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €1 000i = 6%n = 11

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

19 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €504.8% / 12N = 228

FV = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €500 000 です。1 年目の末に €40 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 1% ずつ増加します。資本コストは 11% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €500 000CF₁ = €40 000g = 1%r = 11%

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €13 000, €9 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 9 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 7%n = 6

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €929 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2% (2×)n = 8P = €929

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 3%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 8%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.25 で 1.3 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 28%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 7% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.25D/E₂ = 1T = 28%r_f = 2.5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €16 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €60 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €60 000p = €16v = €4利益 = €12 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €19、変動費は €15、製品 B の単価は €32、変動費は €20 です。両製品は A 5 個に対して B 2 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €13 200 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q（A と B の合計）を求めなさい。

p_A = €19, v_A = €15p_B = €32, v_B = €20A : B = 5 : 2F = €13 200

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 7887 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5268)/0.06 = 7.887

現在価値

PV = 1 000·7.887 = €7 886.87

答え

PV = €7 886.87

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 18560 €

月利と積立回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·19 = 228

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(2.485 − 1)/0.004 = €18 559.65

答え

FV = €18 559.65

自分で払い込んだのは €11 400。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = −100000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 40 000/(0.11 − 0.01) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

答え

NPV = −€100 000.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 8.699 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(5%) = 997.73

NPV(10%) = −330.58

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 5 + 5·997.73/(997.73 − (−330.58)) = 8.756%

正確な値: NPV(8.699%) = 0 → IRR = 8.699%

答え

IRR = 8.699%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 806.7 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €15.00, i = 0.035, N = 12

クーポンの現在価値

€15.00·(1 − 0.6618)/0.035 = €144.95

額面の現在価値

€1 000·0.6618 = €661.78

価格

P = €806.73

答え

P = €806.73

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.005 %

1 期あたり

C = €10.00, N = 16

数値的に解く

i = 1.503% 半年あたり

YTM

YTM = 2·1.503% = 3.005%

答え

YTM = 3.005%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 5.844 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·8% + 0.375·3%·(1 − 0.25) = 5.844%

答え

WACC = 5.844%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 15.76 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.3/(1 + 0.72·0.25) = 1.102

新しい D/E でリレバーする

β_L = 1.102·(1 + 0.72·1) = 1.895

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.895·7% = 15.76%

答え

r_e = 15.76%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 6000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 16 − 4 = €12

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (60 000 + 12 000)/12 = 6 000

答え

Q = 6 000 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 2100 個

販売構成比がある場合の損益分岐点：製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。

貢献利益

cm_A = €4, cm_B = €12

加重貢献利益

(5·4 + 2·12)/7 = €6.29

損益分岐点販売量

Q = 13 200/6.286 = 2 100

A: 1 500, B: 600

答え

Q = 2 100 個

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