コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3.6%、四半期複利で €20 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0003.6% / 4n = 6

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

8 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2004.8% / 12N = 96

FV = €

3.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€24 000, €29 000, €17 000, €15 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 24 000CF₂ = 29 000CF₃ = 17 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €10 000, €9 500, €9 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 10 000CF₂ = 9 500CF₃ = 9 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 7%n = 12

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 3.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 3%n = 4YTM = 3.5%

D = 年

7.CAPM と WACCふつう

ある会社は、価値 €6 000 000 の普通株、価値 €500 000 の優先株、価値 €4 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 12%、優先株のコストは 7.5%、税引前負債コストは 5% です。税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 12%r_p = 7.5%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.8 です。負債資本比率を 1 にする計画です。税率は 25%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.8D/E = 1T = 25%r_f = 2%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品の単価は €12、1 個あたりの変動費は €4 です。固定費は月 €9 600 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €4 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

p = €12v = €4F = €9 600T = 20%税引後利益 = €4 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €50 で売られ、変動費は 1 個あたり €45、固定費は年 €10 000 です。予算販売量は 2 300 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €10 000p = €50v = €45予算 = 2 300

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 24798 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·6 = 24

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.009)²⁴ = 20 000·1.24 = €24 798.08

答え

FV = €24 798.08

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 23351 €

月利と積立回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·8 = 96

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.467 − 1)/0.004 = €23 351.07

答え

FV = €23 351.07

自分で払い込んだのは €19 200。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = 6180 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 24 000/1.12 = 21 428.57

CF₂/(1 + 0.12)² = 29 000/1.254 = 23 118.62

CF₃/(1 + 0.12)³ = 17 000/1.405 = 12 100.26

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 15 000/1.574 = 9 532.77

合計する

NPV = €6 180.23

答え

NPV = €6 180.23

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 7.878 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(5%) = 1 347.05

NPV(10%) = −920.36

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 5 + 5·1 347.05/(1 347.05 − (−920.36)) = 7.97%

正確な値: NPV(7.878%) = 0 → IRR = 7.878%

答え

IRR = 7.878%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 839.4 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.035, N = 24

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.438)/0.035 = €401.46

額面の現在価値

€1 000·0.438 = €437.96

価格

P = €839.42

答え

P = €839.42

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: D = 3.827 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 30/1.035 = 28.99, t·PV = 28.99

t = 2: 30/1.071 = 28.01, t·PV = 56.01

t = 3: 30/1.109 = 27.06, t·PV = 81.17

t = 4: 1030/1.148 = 897.59, t·PV = 3 590.34

デュレーション

P = 981.63

D = 3 756.51/981.63 = 3.827

答え

D = 3.827 年

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.738 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = 6 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €10 500 000

E/V = 0.5714, P_s/V = 0.04762, D/V = 0.381

WACC

WACC = 0.5714·12% + 0.04762·7.5% + 0.381·5%·(1 − 0.2) = 8.738%

答え

WACC = 8.738%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 8.3 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.8·(1 + 0.75·1) = 1.4

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.4·4.5% = 8.3%

答え

r_e = 8.3%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1825 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

必要な税引前利益

4 000/(1 − 0.2) = €5 000

必要な販売量

Q = (9 600 + 5 000)/8 = 1 825

答え

Q = 1 825 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 13.04 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 10 000/5 = 2 000

安全余裕率

MS = (2 300 − 2 000)/2 300·100 = 13.04%

答え

MS = 13.04%

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