1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 17.5%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 17.5%m = 365
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 の住宅ローンを、年 4.8%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。2 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €150 0004.8% / 12N = 240k = 24
B = €
3.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€19 000, €31 000, €24 000, €26 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −75 000CF1 = 19 000CF2 = 31 000CF3 = 24 000CF4 = 26 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €13 000, €11 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、11 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 3.5%n = 11
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 085 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 6P = €1 085
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €8 000 000、負債の価値は €2 000 000 です。WACC は 12%、税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €8 000 000D = €2 000 000WACC = 12%rd = 5%T = 20%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 1 にする計画です。税率は 21%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 6% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1D/E = 1T = 21%rf = 3.5%rm − rf = 6%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €10 000、1 個あたりの変動費が €15 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €13 000、1 個あたりの変動費が €12 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €10 000vA = €15FB = €13 000vB = €12
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 1 280 個を各 €40 で販売しており、1 個あたりの変動費は €30、固定費は €8 000 です。販売量が 5% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 1 280p = €40v = €30F = €8 000%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 19.12 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 期あたりの利率
r/m = 0.175/365 = 0.0004795
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.0004795)365 − 1 = 1.191 − 1 = 19.12%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: B = 140613 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.004, N = 240
A = 150 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−240) = €973.44
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 24 = 216
B = 973.4·(1 − (1 + 0.004)−216)/0.004 = €140 612.91
3.NPV と IRR
答え: NPV = 9260 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 19 000/1.07 = 17 757.01
CF2/(1 + 0.07)2 = 31 000/1.145 = 27 076.60
CF3/(1 + 0.07)3 = 24 000/1.225 = 19 591.15
CF4/(1 + 0.07)4 = 26 000/1.311 = 19 835.28
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 13.47 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 909.09
NPV(15%) = −378.07
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·909.09/(909.09 − (−378.07)) = 13.53%
正確な値: NPV(13.47%) = 0 → IRR = 13.47%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 864 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €10.00, i = 0.0175, N = 22
クーポンの現在価値
€10.00·(1 − 0.6827)/0.0175 = €181.30
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 1.508 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 085 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(1%) = €1 115.91, P(2%) = €1 056.01
YTM = 1.508%
7.CAPM と WACC
答え: re = 14 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2
株主資本コスト
re = (12% − 0.8%)/0.8 = 14%
8.CAPM と WACC
答え: re = 14.24 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1·(1 + 0.79·1) = 1.79
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.79·6% = 14.24%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
10 000 + 15Q = 13 000 + 12Q
Q について解く
Q = (13 000 − 10 000)/(15 − 12) = 1 000
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = 13.33 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 1 280·10 = €12 800
Π = 12 800 − 8 000 = €4 800
DOL
DOL = 12 800/4 800 = 2.667
利益の変化
%ΔΠ = 2.667·(+5%) = +13.33%
確認：新しい利益 = 1 344·10 − 8 000 = €5 440.00。