1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、四半期複利で €12 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0004% / 4n = 3
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
22 年間、毎年初めに €3 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 8% です。22 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €3 000i = 8%n = 22
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000 です。4 年間、毎年末に €13 500 を生み、その後 €5 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF = €13 500S = €5 000n = 4r = 12%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 500, €11 000, €14 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 11 000CF3 = 14 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 15 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 7% のとき €818 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 15P = €818YTM = 7%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 045 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 5P = €1 045
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.25 です。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 6%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.25re = 9%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €13.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 25% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 10% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 3.5%rm = 10%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €15 000、1 個あたりの変動費が €20 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €30 000、1 個あたりの変動費が €14 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €15 000vA = €20FB = €30 000vB = €14
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €47 で売られ、変動費は 1 個あたり €45、固定費は年 €1 600 です。予算販売量は 1 440 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €1 600p = €47v = €45予算 = 1 440
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 13522 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·3 = 12
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.01)12 = 12 000·1.127 = €13 521.90
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 179680 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.08)22 − 1)/0.08 = 55.46
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 3 000·55.46·1.08 = €179 679.89
3.NPV と IRR
答え: NPV = −5818 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −50 000 + 41 004.22 + 3 177.59 = −€5 818.19
4.NPV と IRR
答え: IRR = 23.58 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 1 446.76
NPV(25%) = −536.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·1 446.76/(1 446.76 − (−536.00)) = 23.65%
正確な値: NPV(23.58%) = 0 → IRR = 23.58%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 5.002 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.07)−15 = €362.45
クーポン
C = (818 − 362.45)/9.108 = €50.02
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 3.989 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 045 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数値的に解く
P(3%) = €1 091.59, P(4%) = €1 044.52
YTM = 3.989%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.064 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8
D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2
WACC
WACC = 0.8·9% + 0.2·6%·(1 − 0.28) = 8.064%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.533 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€13.00 = €26 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 0.8·6.5% = 8.7%
ウェイト
V = €36 000 000, E/V = 0.7222, D/V = 0.2778
WACC
WACC = 0.7222·8.7% + 0.2778·6%·(1 − 0.25) = 7.533%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
15 000 + 20Q = 30 000 + 14Q
Q について解く
Q = (30 000 − 15 000)/(20 − 14) = 2 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 44.44 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 1 600/2 = 800
安全余裕率
MS = (1 440 − 800)/1 440·100 = 44.44%