1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4.8%、四半期複利で €8 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €8 0004.8% / 4n = 10
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€12 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €12 0005.4% / 12N = 60
A = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、5 年間、毎年末に €21 500 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。
r = 6%CF0 = −60 000CF1 = 21 500CF2 = 21 500CF3 = 21 500CF4 = 21 500CF5 = 21 500
DPB = 年
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 500, €18 500, €11 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 18 500CF3 = 11 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 9 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 2.5% のとき €1 438 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 9P = €1 438YTM = 2.5%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €975 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 4 年です。利回りが 75 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €975y = 4%D = 4Δy = −75 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.4 の株式の要求収益率は 7.6% です。無リスク金利は 2% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.4re = 7.6%rf = 2%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €14.00 の株式 5 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 9.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 2.5%rm = 9.5%rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €27、1 個あたりの変動費は €15 です。固定費は月 €60 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €18 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €27v = €15F = €60 000T = 20%税引後利益 = €18 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €9 で売られ、変動費は 1 個あたり €6、固定費は年 €3 600 です。予算販売量は 2 160 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €3 600p = €9v = €6予算 = 2 160
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 12892 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·10 = 40
将来価値
FV = 8 000·(1 + 0.012)40 = 8 000·1.611 = €12 891.71
2.貨幣の時間価値
答え: A = 228.7 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·5 = 60
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.7638
A = 12 000·0.0045/(1 − 0.7638) = €228.66
3.NPV と IRR
答え: DPB = 3.149 年
回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。
割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー
年度 1: 21 500/1.06 = 20 283.02 → Σ = 20 283.02
年度 2: 21 500/1.124 = 19 134.92 → Σ = 39 417.94
年度 3: 21 500/1.191 = 18 051.81 → Σ = 57 469.76
年度 4: 21 500/1.262 = 17 030.01 → Σ = 74 499.77
最後の年の端数
DPB = 3 + 2 530.24/17 030.01 = 3.149
割引回収期間は、常に単純回収期間（2.791 年）より長くなります。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 32.25 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 796.54
NPV(35%) = −915.76
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·796.54/(796.54 − (−915.76)) = 32.33%
正確な値: NPV(32.25%) = 0 → IRR = 32.25%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 7.995 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.025)−9 = €800.73
クーポン
C = (1438 − 800.73)/7.971 = €79.95
6.債券の価格と利回り
答え: P = 1003 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −3.846·(−0.0075) = 2.885%
P ≈ 975·(1 + 0.02885) = €1 003.12
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: rm = 6 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (7.6% − 2%)/1.4 = 4%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.702 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 5 000 000·€14.00 = €70 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.1·7% = 10.2%
ウェイト
V = €89 200 000, E/V = 0.7848, D/V = 0.2152
WACC
WACC = 0.7848·10.2% + 0.2152·4.5%·(1 − 0.28) = 8.702%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 6875 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
18 000/(1 − 0.2) = €22 500
必要な販売量
Q = (60 000 + 22 500)/12 = 6 875
10.損益分岐点分析
答え: MS = 44.44 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 3 600/3 = 1 200
安全余裕率
MS = (2 160 − 1 200)/2 160·100 = 44.44%