1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €1 000 を 12 年間支払います。利率は年 8% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €1 000i = 8%n = 12
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
20 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2505.4% / 12N = 240
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €3 000（各年末に支払い）です。資本コストは 8% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €50 000M = €3 000n = 5r = 8%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €55 000 で、4 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 2% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €200 000CF1 = €55 000g = 2%n = 4r = 8%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 3% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%YTM = 5%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 12 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）が €1 188 で売られています。発行者は 3 年後に €1 060 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%P = €1 188繰上償還価格 = €1 060繰上償還まで 3 年
YTC = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €4 000 000、負債の価値は €2 000 000 です。WACC は 10.46%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 25% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €4 000 000D = €2 000 000WACC = 10.46%rd = 4.5%T = 25%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €48.50 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 30% です。株式のベータは 0.6、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.6rf = 2.5%rm = 8.5%rd = 6%T = 30%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €32、1 個あたりの変動費は €20 です。固定費は月 €14 400 で、利益には 25% の税金がかかります。税引後で €4 500 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €32v = €20F = €14 400T = 25%税引後利益 = €4 500
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €35 で売られ、変動費は 1 個あたり €20、固定費は年 €18 000 です。予算販売量は 1 800 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €18 000p = €35v = €20予算 = 1 800
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 7536 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.3971)/0.08 = 7.536
現在価値
PV = 1 000·7.536 = €7 536.08
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 107642 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·20 = 240
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(2.938 − 1)/0.0045 = €107 641.89
自分で払い込んだのは €60 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: EAC = 15523 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.08−5)/0.08 = 3.993
EAC
EAC = 12 522.82 + 3 000 = €15 522.82
4.NPV と IRR
答え: NPV = −12652 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.02)/(1.08))4 = 0.7956
PV = 55 000/(0.08 − 0.02)·(1 − 0.7956) = 187 348.38
NPV
NPV = 187 348.38 − 200 000 = −€12 651.62
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: P = 883.1 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €15.00, i = 0.025, N = 14
クーポンの現在価値
€15.00·(1 − 0.7077)/0.025 = €175.36
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTC = 1.513 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1188 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
数値的に解く
y = 1%: €1 205.28
y = 2%: €1 171.89
YTC = 1.513%
最終利回りは 3.997% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
7.CAPM と WACC
答え: re = 14 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC の負債の部分
0.3333·4.5%·(1 − 0.25) = 1.125%
株主資本コスト
re = (10.46% − 1.125%)/0.6667 = 14%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.919 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€48.50 = €48 500 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 0.6·6% = 6.1%
ウェイト
V = €53 600 000, E/V = 0.9049, D/V = 0.09515
WACC
WACC = 0.9049·6.1% + 0.09515·6%·(1 − 0.3) = 5.919%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1700 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
4 500/(1 − 0.25) = €6 000
必要な販売量
Q = (14 400 + 6 000)/12 = 1 700
10.損益分岐点分析
答え: MS = 33.33 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 18 000/15 = 1 200
安全余裕率
MS = (1 800 − 1 200)/1 800·100 = 33.33%