コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €1 000 を 9 年間支払います。利率は年 4% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €1 000i = 4%n = 9

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

16 年後に €20 000 が欲しいとします。年 4.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €20 0004.2% / 12N = 192

A = €

3.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €40 000 です。3 年間、毎年末に €14 000 を生み、その後 €10 000 で売却できます。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €40 000CF = €14 000S = €10 000n = 3r = 12%

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €17 500, €12 000, €5 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €40 000 で、€10 000, €15 500, €22 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −30 000, 17 500, 12 000, 5 500B: −40 000, 10 000, 15 500, 22 000

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 5.5%n = 4

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、12 年後に満期を迎えます。価格は €831 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4% (2×)n = 12P = €831

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の負債資本比率（時価）は 0.4 です。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

D/E = 0.4r_e = 14%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €40.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.9、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.9r_f = 1.5%r_m = 8.5%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある会社は 8 000 個を各 €9 で販売しています。1 個あたりの変動費は €4、固定費は €25 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。

Q = 8 000p = €9v = €4F = €25 000

DOL =

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €22 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €10 000 です。予算販売量は 1 600 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €10 000p = €22v = €12予算 = 1 600

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 7435 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7026)/0.04 = 7.435

現在価値

PV = 1 000·7.435 = €7 435.33

答え

PV = €7 435.33

2.貨幣の時間価値

答え: A = 73.23 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·16 = 192

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0.0035/(1.956 − 1) = €73.23

答え

A = €73.23

3.NPV と IRR

答え: NPV = 743.4 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

14 000·2.402 = 33 625.64

残存価値の現在価値

10 000/1.405 = 7 117.80

NPV

NPV = −40 000 + 33 625.64 + 7 117.80 = €743.44

答え

NPV = €743.44

4.NPV と IRR

答え: r* = 5.724 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 000 − 17 500 = −7 500

ΔCF₂ = 15 500 − 12 000 = 3 500

ΔCF₃ = 22 000 − 5 500 = 16 500

差の IRR

NPV_Δ(5%) = 285.07

NPV_Δ(6%) = −106.77

r* = 5.724%

答え

r* = 5.724%

確認：5.724% では両方の NPV が €1 942.71 です。

5.債券の価格と利回り

答え: P = 982.3 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.0275, N = 8

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.8049)/0.0275 = €177.36

額面の現在価値

€1 000·0.8049 = €804.91

価格

P = €982.26

答え

P = €982.26

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.995 %

1 期あたり

C = €20.00, N = 24

数値的に解く

i = 2.998% 半年あたり

YTM

YTM = 2·2.998% = 5.995%

答え

YTM = 5.995%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 11.6 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

D/E からの重み

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143

D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·14% + 0.2857·7%·(1 − 0.2) = 11.6%

答え

WACC = 11.6%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.203 %

時価

E = 2 000 000·€40.00 = €80 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.9·7% = 7.8%

ウェイト

V = €89 600 000, E/V = 0.8929, D/V = 0.1071

WACC

WACC = 0.8929·7.8% + 0.1071·3%·(1 − 0.258) = 7.203%

答え

WACC = 7.203%

9.損益分岐点分析

答え: DOL = 2.667

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益の合計

CM = 8 000·(9 − 4) = €40 000

営業利益

Π = 40 000 − 25 000 = €15 000

DOL

DOL = 40 000/15 000 = 2.667

答え

DOL = 2.667

10.損益分岐点分析

答え: MS = 37.5 %

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 10 000/10 = 1 000

安全余裕率

MS = (1 600 − 1 000)/1 600·100 = 37.5%

答え

MS = 37.5%

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