1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€1 000 を年 8%、連続複利で投資します。4 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 000r = 8%t = 4
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€8 000 のローンを 4 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €8 0004.2% / 12N = 48
A = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€5 000, €4 000, €4 000, €8 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 4 000CF3 = 4 000CF4 = 8 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €14 000, €17 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 17 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5% から 4% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 2%n = 4y1 = 5%y2 = 4%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、4 年後に満期を迎えます。価格は €897 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4% (2×)n = 4P = €897
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 7%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 13%rd = 7%T = 28%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 0.4 にする計画です。税率は 21%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 4% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1D/E = 0.4T = 21%rf = 4%rm − rf = 4%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €13 で売られ、変動費は 1 個あたり €8 です。固定費は月 €12 500 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €12 500p = €13v = €8利益 = €12 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €33 で売られ、変動費は 1 個あたり €25、固定費は年 €16 000 です。予算販売量は 2 400 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €16 000p = €33v = €25予算 = 2 400
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1377 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.08·4 = 0.32
e0.32 = 1.377
将来価値
FV = 1 000·1.377 = €1 377.13
2.貨幣の時間価値
答え: A = 181.3 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·4 = 48
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.8456
A = 8 000·0.0035/(1 − 0.8456) = €181.35
3.NPV と IRR
答え: NPV = −1573 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 5 000/1.05 = 4 761.90
CF2/(1 + 0.05)2 = 4 000/1.103 = 3 628.12
CF3/(1 + 0.05)3 = 4 000/1.158 = 3 455.35
CF4/(1 + 0.05)4 = 8 000/1.216 = 6 581.62
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 15.09 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(15%) = 28.36
NPV(20%) = −1 527.78
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 15 + 5·28.36/(28.36 − (−1 527.78)) = 15.09%
正確な値: NPV(15.09%) = 0 → IRR = 15.09%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 33.78 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €20.00, i = 0.05, N = 4
€20.00·(1 − 0.8227)/0.05 + €1 000·0.8227 = €70.92 + €822.70 = €893.62
新しい利回りでの価格
C = €20.00, i = 0.04, N = 4
€20.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €72.60 + €854.80 = €927.40
変化
ΔP = 927.40 − 893.62 = €33.78
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.997 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.02 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·13% + 0.5·7%·(1 − 0.28) = 9.02%
8.CAPM と WACC
答え: re = 9.264 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1·(1 + 0.79·0.4) = 1.316
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 1.316·4% = 9.264%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 4900 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (12 500 + 12 000)/5 = 4 900
10.損益分岐点分析
答え: MS = 16.67 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 16 000/8 = 2 000
安全余裕率
MS = (2 400 − 2 000)/2 400·100 = 16.67%