コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €3 000 を 19 年間支払います。利率は年 4% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €3 000i = 4%n = 19

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€250 000 の住宅ローンを、年 4.2%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。4 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €250 0004.2% / 12N = 360k = 48

B = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、1 年目から 5 年目の各年末に €21 000, €22 000, €10 500, €12 500, €20 000 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 22 000CF₃ = 10 500CF₄ = 12 500CF₅ = 20 000

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €29 500, €18 000, €30 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 29 500CF₂ = 18 000CF₃ = 30 000

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 14 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5.5% のとき €1 240 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 14P = €1 240YTM = 5.5%

c = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、6 年後に満期を迎えます。価格は €795 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5% (2×)n = 6P = €795

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある会社の株主資本の価値は €6 000 000、負債の価値は €5 000 000 です。WACC は 7.85%、税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。株主資本コスト r_e を求めなさい。

E = €6 000 000D = €5 000 000WACC = 7.85%r_d = 4%T = 28%

r_e = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €10 000 000、株主資本コストは 10% です。負債は 5 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 5%、残存期間 11 年）からなり、1 枚 €1 088 で取引されています。税率は 25% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €10 000 000r_e = 10%債券: 5 000 × €1 088クーポンレート = 5%n = 11T = 25%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €14 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €25 000 です。月 €5 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €25 000p = €14v = €4利益 = €5 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 000 個を各 €23 で販売しており、1 個あたりの変動費は €18、固定費は €4 000 です。販売量が 12% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 2 000p = €23v = €18F = €4 000%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 39402 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4746)/0.04 = 13.13

現在価値

PV = 3 000·13.13 = €39 401.82

答え

PV = €39 401.82

2.貨幣の時間価値

答え: B = 231869 €

毎月の返済額

i = 0.0035, N = 360

A = 250 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻³⁶⁰) = €1 222.54

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 360 − 48 = 312

B = 1223·(1 − (1 + 0.0035)⁻³¹²)/0.0035 = €231 869.21

答え

B = €231 869.21

3.NPV と IRR

答え: DPB = 3.181 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 21 000/1.06 = 19 811.32 → Σ = 19 811.32

年度 2: 22 000/1.124 = 19 579.92 → Σ = 39 391.24

年度 3: 10 500/1.191 = 8 816.00 → Σ = 48 207.24

年度 4: 12 500/1.262 = 9 901.17 → Σ = 58 108.42

最後の年の端数

DPB = 3 + 1 792.76/9 901.17 = 3.181

答え

DPB = 3.181 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.667 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 25.65 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 480.00

NPV(30%) = −3 001.82

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·480.00/(480.00 − (−3 001.82)) = 25.69%

正確な値: NPV(25.65%) = 0 → IRR = 25.65%

答え

IRR = 25.65%

5.債券の価格と利回り

答え: c = 8.003 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.055)⁻¹⁴ = €472.57

クーポン

C = (1240 − 472.57)/9.59 = €80.03

クーポン・レート

c = 80.03/1000 = 8.003%

答え

c = 8.003%

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 8.996 %

1 期あたり

C = €22.50, N = 12

数値的に解く

i = 4.498% 半年あたり

YTM

YTM = 2·4.498% = 8.996%

答え

YTM = 8.996%

7.CAPM と WACC

答え: r_e = 11.99 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545

WACC の負債の部分

0.4545·4%·(1 − 0.28) = 1.309%

株主資本コスト

r_e = (7.85% − 1.309%)/0.5455 = 11.99%

答え

r_e = 11.99%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.533 %

負債コスト（YTM）

1088 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 3.996%

時価

D = 5 000·€1 088 = €5 440 000

V = €15 440 000, E/V = 0.6477, D/V = 0.3523

WACC

WACC = 0.6477·10% + 0.3523·3.996%·(1 − 0.25) = 7.533%

答え

WACC = 7.533%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 3000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 14 − 4 = €10

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (25 000 + 5 000)/10 = 3 000

答え

Q = 3 000 個

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = 20 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 2 000·5 = €10 000

Π = 10 000 − 4 000 = €6 000

DOL

DOL = 10 000/6 000 = 1.667

利益の変化

%ΔΠ = 1.667·(+12%) = +20%

答え

%ΔΠ = +20%

確認：新しい利益 = 2 240·5 − 4 000 = €7 200.00。

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