コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 15%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 15%m = 12

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

€8 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €8 0003.6% / 12N = 60

A = €

3.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €14 000, €14 000, €15 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 14 000CF₃ = 14 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €15 000, €24 500, €27 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 000CF₂ = 24 500CF₃ = 27 000

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3.5% から 1.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 5y₁ = 3.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 5 年後に満期を迎え、€905 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 5P = €905

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 7%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 28%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 6.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 0.9D/E = 1.5T = 28%r_f = 2%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €30 000、1 個あたりの変動費が €8 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €34 000、1 個あたりの変動費が €4 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？

F_A = €30 000v_A = €8F_B = €34 000v_B = €4

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 3 200 個を各 €51 で販売しており、1 個あたりの変動費は €45、固定費は €12 000 です。販売量が 15% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 3 200p = €51v = €45F = €12 000%ΔQ = +15%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 16.08 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.15/12 = 0.0125

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.0125)¹² − 1 = 1.161 − 1 = 16.08%

答え

EAR = 16.08%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: A = 145.9 €

月利と返済回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·5 = 60

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 8 000·0.003/(1 − 0.8355) = €145.89

答え

A = €145.89

3.NPV と IRR

答え: NPV = 380.1 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 11 000/1.07 = 10 280.37

CF₂/(1 + 0.07)² = 14 000/1.145 = 12 228.14

CF₃/(1 + 0.07)³ = 14 000/1.225 = 11 428.17

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 15 000/1.311 = 11 443.43

合計する

NPV = €380.11

答え

NPV = €380.11

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 27.28 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 1 504.00

NPV(30%) = −1 675.01

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·1 504.00/(1 504.00 − (−1 675.01)) = 27.37%

正確な値: NPV(27.28%) = 0 → IRR = 27.28%

答え

IRR = 27.28%

5.債券の価格と利回り

答え: ΔP = 98.33 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €45.00, i = 0.035, N = 5

€45.00·(1 − 0.842)/0.035 + €1 000·0.842 = €203.18 + €841.97 = €1 045.15

新しい利回りでの価格

C = €45.00, i = 0.015, N = 5

€45.00·(1 − 0.9283)/0.015 + €1 000·0.9283 = €215.22 + €928.26 = €1 143.48

変化

ΔP = 1 143.48 − 1 045.15 = €98.33

答え

ΔP = €98.33

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 10.54 %

利回りの方程式

€905 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(10%) = €924.18, P(11%) = €889.12

YTM = 10.54%

答え

YTM = 10.54%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 13.2 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €11 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·14% + 0.09091·7%·(1 − 0.258) = 13.2%

答え

WACC = 13.2%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 14.17 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 0.9·(1 + 0.72·1.5) = 1.872

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2% + 1.872·6.5% = 14.17%

答え

r_e = 14.17%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 1000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

総費用が等しい

30 000 + 8Q = 34 000 + 4Q

Q について解く

Q = (34 000 − 30 000)/(8 − 4) = 1 000

答え

Q = 1 000 個

この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = 40 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 3 200·6 = €19 200

Π = 19 200 − 12 000 = €7 200

DOL

DOL = 19 200/7 200 = 2.667

利益の変化

%ΔΠ = 2.667·(+15%) = +40%

答え

%ΔΠ = +40%

確認：新しい利益 = 3 680·6 − 12 000 = €10 080.00。

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