1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
年金が毎年末に €500 を 20 年間支払います。利率は年 3% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。
A = €500i = 3%n = 20
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを、年 4.8%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €150 0004.8% / 12N = 240
I = €
3.NPV と IRRふつう
あるプロジェクトの費用は今日 €100 000 です。1 年目の末に €8 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 4% ずつ増加します。資本コストは 11% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €100 000CF1 = €8 000g = 4%r = 11%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €15 500, €12 000, €17 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 15 500CF2 = 12 000CF3 = 17 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、13 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 2% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 13y1 = 3%y2 = 2%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €995 で取引され、最終利回りは 6%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 9.1 年です。利回りが 100 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €995y = 6%D = 9.1Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €6 000 000、負債の価値は €2 000 000 です。WACC は 10.74%、税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €6 000 000D = €2 000 000WACC = 10.74%rd = 5%T = 21%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €10.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 2.5%rm = 8.5%rd = 3.5%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 800 個を各 €26 で販売しています。1 個あたりの変動費は €6、固定費は €10 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 800p = €26v = €6F = €10 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €40 で売られ、変動費は 1 個あたり €30、固定費は年 €20 000 です。予算販売量は 2 800 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €20 000p = €40v = €30予算 = 2 800
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 7439 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金現価係数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.5537)/0.03 = 14.88
現在価値
PV = 500·14.88 = €7 438.74
2.貨幣の時間価値
答え: I = 83625 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.004, N = 240
A = 150 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−240) = €973.44
利息の総額
I = N·A − P = 240·973.4 − 150 000 = €83 624.69
3.NPV と IRR
答え: NPV = 14286 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
キャッシュフローの価値
PV = 8 000/(0.11 − 0.04) = 114 285.71
NPV
NPV = 114 285.71 − 100 000 = €14 285.71
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 34.93 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 1 761.49
NPV(35%) = −24.64
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·1 761.49/(1 761.49 − (−24.64)) = 34.93%
正確な値: NPV(34.93%) = 0 → IRR = 34.93%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 120.6 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €40.00, i = 0.03, N = 13
€40.00·(1 − 0.681)/0.03 + €1 000·0.681 = €425.40 + €680.95 = €1 106.35
新しい利回りでの価格
C = €40.00, i = 0.02, N = 13
€40.00·(1 − 0.773)/0.02 + €1 000·0.773 = €453.93 + €773.03 = €1 226.97
変化
ΔP = 1 226.97 − 1 106.35 = €120.62
6.債券の価格と利回り
答え: P = 909.6 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −8.585·(0.01) = −8.585%
P ≈ 995·(1 − 0.08585) = €909.58
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: re = 13 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25
WACC の負債の部分
0.25·5%·(1 − 0.21) = 0.9875%
株主資本コスト
re = (10.74% − 0.9875%)/0.75 = 13%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.207 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€10.00 = €40 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.2·6% = 9.7%
ウェイト
V = €50 500 000, E/V = 0.7921, D/V = 0.2079
WACC
WACC = 0.7921·9.7% + 0.2079·3.5%·(1 − 0.28) = 8.207%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 2.667
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 800·(26 − 6) = €16 000
営業利益
Π = 16 000 − 10 000 = €6 000
DOL
DOL = 16 000/6 000 = 2.667
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 20 000/10 = 2 000
安全余裕率
MS = (2 800 − 2 000)/2 800·100 = 28.57%