コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 6%、四半期複利で €12 000 を投資します。3 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €12 0006% / 4n = 3

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€150 000 の住宅ローンを、年 7.2%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。21 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €150 0007.2% / 12N = 360k = 252

B = €

3.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€12 000, €9 000, €19 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 9 000CF₃ = 19 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €17 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €150 000CF₁ = €17 000g = 5%n = 8r = 8%

NPV = €

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が 6 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 5% のとき €1 051 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。

F = €1 000n = 6P = €1 051YTM = 5%

c = %

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、6 年後に満期を迎えます。価格は €900 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4% (2×)n = 6P = €900

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 11%、税引前負債コストは 5%、税率は 28% です。WACC を求めなさい。

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €18.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 20% です。株式のベータは 1.8、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 5.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.8r_f = 1.5%r_m = 5.5%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €23 で売られ、変動費は 1 個あたり €15 です。固定費は月 €20 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €20 000p = €23v = €15利益 = €10 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €18、変動費は €10、製品 B の単価は €20、変動費は €10 です。両製品は A 5 個に対して B 2 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €48 000 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q（A と B の合計）を求めなさい。

p_A = €18, v_A = €10p_B = €20, v_B = €10A : B = 5 : 2F = €48 000

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 14347 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·3 = 12

将来価値

FV = 12 000·(1 + 0.015)¹² = 12 000·1.196 = €14 347.42

答え

FV = €14 347.42

2.貨幣の時間価値

答え: B = 80758 €

毎月の返済額

i = 0.006, N = 360

A = 150 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁶⁰) = €1 018.18

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 360 − 252 = 108

B = 1018·(1 − (1 + 0.006)⁻¹⁰⁸)/0.006 = €80 758.02

答え

B = €80 758.02

3.NPV と IRR

答え: NPV = −11744 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 12 000/1.09 = 11 009.17

CF₂/(1 + 0.09)² = 9 000/1.188 = 7 575.12

CF₃/(1 + 0.09)³ = 19 000/1.295 = 14 671.49

合計する

NPV = €−11 744.22

答え

NPV = €−11 744.22

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: NPV = −35660 €

成長型年金の現在価値

((1.05)/(1.08))⁸ = 0.7982

PV = 17 000/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.7982) = 114 340.18

NPV

NPV = 114 340.18 − 150 000 = −€35 659.82

答え

NPV = −€35 659.82

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

5.債券の価格と利回り

答え: c = 6.005 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

額面の現在価値

1000·(1 + 0.05)⁻⁶ = €746.22

クーポン

C = (1051 − 746.22)/5.076 = €60.05

クーポン・レート

c = 60.05/1000 = 6.005%

答え

c = 6.005%

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 6.01 %

1 期あたり

C = €20.00, N = 12

数値的に解く

i = 3.005% 半年あたり

YTM

YTM = 2·3.005% = 6.01%

答え

YTM = 6.01%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.829 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·11% + 0.4286·5%·(1 − 0.28) = 7.829%

答え

WACC = 7.829%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.548 %

時価

E = 1 000 000·€18.00 = €18 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.8·4% = 8.7%

ウェイト

V = €23 250 000, E/V = 0.7742, D/V = 0.2258

WACC

WACC = 0.7742·8.7% + 0.2258·4.5%·(1 − 0.2) = 7.548%

答え

WACC = 7.548%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 3750 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 23 − 15 = €8

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (20 000 + 10 000)/8 = 3 750

答え

Q = 3 750 個

10.損益分岐点分析

答え: Q = 5600 個

販売構成比がある場合の損益分岐点：製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。

貢献利益

cm_A = €8, cm_B = €10

加重貢献利益

(5·8 + 2·10)/7 = €8.57

損益分岐点販売量

Q = 48 000/8.571 = 5 600

A: 4 000, B: 1 600

答え

Q = 5 600 個

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