コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 24%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 24%m = 4

EAR = %

2.貨幣の時間価値むずかしい

年 6%、月複利で €25 000 を借り、毎月末に €600 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €25 000A = €6006% / 12

N = 回

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €250 000 です。1 年目の末に €23 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 1% ずつ増加します。資本コストは 11% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €250 000CF₁ = €23 000g = 1%r = 11%

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €29 500, €23 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 29 500CF₂ = 23 500

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 8% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%YTM = 5%n = 12

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 7% の債券が 5 年後に満期を迎え、€1 065 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 7%n = 5P = €1 065

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €47.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 1%、市場収益率は 6.5% です。WACC を求めなさい。

β = 0.8r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €14 で売られ、変動費は 1 個あたり €6 です。固定費は月 €20 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €20 000p = €14v = €6利益 = €6 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €12 で売られ、変動費は 1 個あたり €8、固定費は年 €2 000 です。予算販売量は 700 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €2 000p = €12v = €8予算 = 700

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: EAR = 26.25 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.24/4 = 0.06

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.06)⁴ − 1 = 1.262 − 1 = 26.25%

答え

EAR = 26.25%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

2.貨幣の時間価値

答え: N = 47 回

年金の公式を変形する

i = 0.005

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.005/600 = 0.7917

対数を使って解く

N = −ln(0.7917)/ln(1.005) = 46.84

返済回数を整数に切り上げる

46 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 47

答え

N = 47 回

3.NPV と IRR

答え: NPV = −20000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 23 000/(0.11 − 0.01) = 230 000.00

NPV

NPV = 230 000.00 − 250 000 = −€20 000.00

答え

NPV = −€20 000.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 4.134 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(0%) = 3 000.00

NPV(5%) = −589.57

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 0 + 5·3 000.00/(3 000.00 − (−589.57)) = 4.179%

正確な値: NPV(4.134%) = 0 → IRR = 4.134%

答え

IRR = 4.134%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 1268 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €40.00, i = 0.025, N = 24

クーポンの現在価値

€40.00·(1 − 0.5529)/0.025 = €715.40

額面の現在価値

€1 000·0.5529 = €552.88

価格

P = €1 268.27

答え

P = €1 268.27

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.479 %

利回りの方程式

€1 065 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数値的に解く

P(5%) = €1 086.59, P(6%) = €1 042.12

YTM = 5.479%

答え

YTM = 5.479%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.484 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €9 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·9% + 0.3333·6%·(1 − 0.258) = 7.484%

答え

WACC = 7.484%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 4.338 %

時価

E = 1 000 000·€47.00 = €47 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 1% + 0.8·5.5% = 5.4%

ウェイト

V = €89 000 000, E/V = 0.5281, D/V = 0.4719

WACC

WACC = 0.5281·5.4% + 0.4719·4.5%·(1 − 0.3) = 4.338%

答え

WACC = 4.338%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 3250 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 14 − 6 = €8

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (20 000 + 6 000)/8 = 3 250

答え

Q = 3 250 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 28.57 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 2 000/4 = 500

安全余裕率

MS = (700 − 500)/700·100 = 28.57%

答え

MS = 28.57%

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