コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

€2 000 を年 7%、連続複利で投資します。15 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 000r = 7%t = 15

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 5.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €200 0005.4% / 12N = 360

A = €

3.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、4 年間、毎年末に €16 000 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 16 000CF₂ = 16 000CF₃ = 16 000CF₄ = 16 000

DPB = 年

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €28 000, €28 000, €21 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 28 000CF₃ = 21 000

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 2% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 2%YTM = 5%n = 5

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

ある債券が €900 で取引され、最終利回りは 4%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 7 年です。利回りが 75 ベーシスポイント低下した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。

P₀ = €900y = 4%D = 7Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 7%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式は 5 000 000 株で、€26.00 で取引されています。株主資本の簿価は €39 000 000 です。1 株あたり €1.80 の配当を支払ったところで、配当は年 5% 成長します。負債の時価は €130 000 000、税引前コストは 3% です。税率は 25% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。

N = 5 000 000P₀ = €26.00株主資本の簿価 = €39 000 000D₀ = €1.80g = 5%D = €130 000 000r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある会社は 2 500 個を各 €33 で販売しています。1 個あたりの変動費は €18、固定費は €30 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。

Q = 2 500p = €33v = €18F = €30 000

DOL =

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €23、変動費は €15、製品 B の単価は €22、変動費は €10 です。両製品は A 5 個に対して B 2 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €32 000 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q（A と B の合計）を求めなさい。

p_A = €23, v_A = €15p_B = €22, v_B = €10A : B = 5 : 2F = €32 000

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 5715 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.07·15 = 1.05

e^1.05 = 2.858

将来価値

FV = 2 000·2.858 = €5 715.30

答え

FV = €5 715.30

2.貨幣の時間価値

答え: A = 1123 €

月利と返済回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·30 = 360

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.1986

A = 200 000·0.0045/(1 − 0.1986) = €1 123.06

答え

A = €1 123.06

3.NPV と IRR

答え: DPB = 3.571 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 16 000/1.06 = 15 094.34 → Σ = 15 094.34

年度 2: 16 000/1.124 = 14 239.94 → Σ = 29 334.28

年度 3: 16 000/1.191 = 13 433.91 → Σ = 42 768.19

年度 4: 16 000/1.262 = 12 673.50 → Σ = 55 441.69

最後の年の端数

DPB = 3 + 7 231.81/12 673.50 = 3.571

答え

DPB = 3.571 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.125 年）より長くなります。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 43.96 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(40%) = 1 938.78

NPV(45%) = −483.82

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 40 + 5·1 938.78/(1 938.78 − (−483.82)) = 44%

正確な値: NPV(43.96%) = 0 → IRR = 43.96%

答え

IRR = 43.96%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 868.7 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €10.00, i = 0.025, N = 10

クーポンの現在価値

€10.00·(1 − 0.7812)/0.025 = €87.52

額面の現在価値

€1 000·0.7812 = €781.20

価格

P = €868.72

答え

P = €868.72

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: P = 945.4 €

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正デュレーション

D_mod = 7/1.04 = 6.731

推定価格変化

%ΔP ≈ −6.731·(−0.0075) = 5.048%

P ≈ 900·(1 + 0.05048) = €945.43

答え

P = €945.43

デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 10.51 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·13% + 0.3333·7%·(1 − 0.21) = 10.51%

答え

WACC = 10.51%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.26 %

株主資本コスト

D₁ = 1.8·1.05 = €1.89

r_e = 1.89/26 + 0.05 = 12.27%

時価

E = 5 000 000·€26.00 = €130 000 000

V = €260 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·12.27% + 0.5·3%·(1 − 0.25) = 7.26%

答え

WACC = 7.26%

9.損益分岐点分析

答え: DOL = 5

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益の合計

CM = 2 500·(33 − 18) = €37 500

営業利益

Π = 37 500 − 30 000 = €7 500

DOL

DOL = 37 500/7 500 = 5

答え

DOL = 5

10.損益分岐点分析

答え: Q = 3500 個

販売構成比がある場合の損益分岐点：製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。

貢献利益

cm_A = €8, cm_B = €12

加重貢献利益

(5·8 + 2·12)/7 = €9.14

損益分岐点販売量

Q = 32 000/9.143 = 3 500

A: 2 500, B: 1 000

答え

Q = 3 500 個

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