1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 2.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 4.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €20 000g = 2.5%r = 4.5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
18 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €504.8% / 12N = 216
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000 です。7 年間、毎年末に €5 500 を生み、その後 €8 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €40 000CF = €5 500S = €8 000n = 7r = 10%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 500, €13 000, €14 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 13 000CF3 = 14 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 5% のときに、残存期間 6 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 4% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 6y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 050 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 6P = €1 050
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 1 です。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
D/E = 1re = 12%rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1 です。負債資本比率を 1.5 にする計画です。税率は 25%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1D/E = 1.5T = 25%rf = 3.5%rm − rf = 7%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €45 で売られ、変動費は 1 個あたり €30 です。固定費は月 €60 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €60 000p = €45v = €30利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €47 で売られ、変動費は 1 個あたり €45、固定費は年 €1 600 です。予算販売量は 1 120 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €1 600p = €47v = €45予算 = 1 120
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 1 × 10⁶ €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 20 000/(0.045 − 0.025) = 20 000/0.02 = €1 000 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 17107 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·18 = 216
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(2.369 − 1)/0.004 = €17 106.83
自分で払い込んだのは €10 800。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −9118 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −40 000 + 26 776.30 + 4 105.26 = −€9 118.43
4.NPV と IRR
答え: IRR = 40.44 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(40%) = 131.20
NPV(45%) = −1 302.02
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 40 + 5·131.20/(131.20 − (−1 302.02)) = 40.46%
正確な値: NPV(40.44%) = 0 → IRR = 40.44%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = 9.264 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €70.00, i = 0.05, N = 6
€70.00·(1 − 0.7462)/0.05 + €1 000·0.7462 = €355.30 + €746.22 = €1 101.51
売却価格
C = €70.00, i = 0.04, N = 5
€70.00·(1 − 0.8219)/0.04 + €1 000·0.8219 = €311.63 + €821.93 = €1 133.55
保有期間利回り
HPR = (70 + 1 133.55 − 1 101.51)/1 101.51 = 9.264%
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.045 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 050 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(4%) = €1 052.42, P(5%) = €1 000.00
YTM = 4.045%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.575 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 1) = 0.5
D/V = 1/(1 + 1) = 0.5
WACC
WACC = 0.5·12% + 0.5·4.5%·(1 − 0.3) = 7.575%
8.CAPM と WACC
答え: re = 18.38 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1·(1 + 0.75·1.5) = 2.125
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 2.125·7% = 18.38%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 4400 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (60 000 + 6 000)/15 = 4 400
10.損益分岐点分析
答え: MS = 28.57 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 1 600/2 = 800
安全余裕率
MS = (1 120 − 800)/1 120·100 = 28.57%