1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €10 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 7% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €10 000g = 1%r = 7%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
27 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1004.8% / 12N = 324
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€14 000, €9 000, €7 000, €11 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 8%CF0 = −30 000CF1 = 14 000CF2 = 9 000CF3 = 7 000CF4 = 11 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €16 500, €9 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 16 500CF3 = 9 000
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5% から 4% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 12y1 = 5%y2 = 4%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 6 年後に満期を迎え、€950 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 6P = €950
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €2 000 000re = 13%rd = 3.5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 0.9 です。負債資本比率を 0.75 にする計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 2%、市場リスクプレミアムは 7% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 0.9D/E = 0.75T = 25.8%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €35 で売られ、変動費は 1 個あたり €30 です。固定費は月 €12 500 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €12 500p = €35v = €30利益 = €10 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 1 500 個を各 €23 で販売しており、1 個あたりの変動費は €20、固定費は €3 600 です。販売量が 15% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 1 500p = €23v = €20F = €3 600%ΔQ = −15%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 166667 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 10 000/(0.07 − 0.01) = 10 000/0.06 = €166 666.67
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 66130 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·27 = 324
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(3.645 − 1)/0.004 = €66 130.33
自分で払い込んだのは €32 400。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 4321 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 14 000/1.08 = 12 962.96
CF2/(1 + 0.08)2 = 9 000/1.166 = 7 716.05
CF3/(1 + 0.08)3 = 7 000/1.26 = 5 556.83
CF4/(1 + 0.08)4 = 11 000/1.36 = 8 085.33
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 23.25 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(20%) = 1 250.00
NPV(25%) = −632.00
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 20 + 5·1 250.00/(1 250.00 − (−632.00)) = 23.32%
正確な値: NPV(23.25%) = 0 → IRR = 23.25%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 99.07 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.05, N = 12
€60.00·(1 − 0.5568)/0.05 + €1 000·0.5568 = €531.80 + €556.84 = €1 088.63
新しい利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.04, N = 12
€60.00·(1 − 0.6246)/0.04 + €1 000·0.6246 = €563.10 + €624.60 = €1 187.70
変化
ΔP = 1 187.70 − 1 088.63 = €99.07
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 3.952 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€950 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(3%) = €1 000.00, P(4%) = €947.58
YTM = 3.952%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.41 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25
WACC
WACC = 0.75·13% + 0.25·3.5%·(1 − 0.25) = 10.41%
8.CAPM と WACC
答え: re = 11.81 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 0.9·(1 + 0.742·0.75) = 1.401
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.401·7% = 11.81%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 4500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (12 500 + 10 000)/5 = 4 500
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −75 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 1 500·3 = €4 500
Π = 4 500 − 3 600 = €900
確認：新しい利益 = 1 275·3 − 3 600 = €225.00。