1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4.8%、月複利で €3 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0004.8% / 12n = 5
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 のローンを 20 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €250 0006% / 12N = 240
A = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €50 000、耐用年数は 6 年、運転費は毎年 €1 500（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €50 000M = €1 500n = 6r = 6%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
€25 000 の投資が 7 年間、毎年末に €7 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €25 000CF = €7 000n = 7
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
最終利回りが 9% のときに、残存期間 11 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 8.5% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 11y0 = 9%y1 = 8.5%
HPR = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
ある債券が €1 095 で取引され、最終利回りは 3%（年複利）、マコーレー・デュレーションは 8.5 年です。利回りが 50 ベーシスポイント上昇した場合の新しい価格 P を、修正デュレーションを使って推定しなさい。
P0 = €1 095y = 3%D = 8.5Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 0.9 の株式の要求収益率は 7.05% です。無リスク金利は 3% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 0.9re = 7.05%rf = 3%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €50.50 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 3%rm = 7.5%rd = 3.5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €50 で売られ、変動費は 1 個あたり €30 です。固定費は月 €24 000 です。月 €10 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €24 000p = €50v = €30利益 = €10 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €9 で売られ、変動費は 1 個あたり €6、固定費は年 €6 000 です。予算販売量は 3 200 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €6 000p = €9v = €6予算 = 3 200
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3812 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.048/12 = 0.004
N = m·n = 12·5 = 60
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.004)60 = 3 000·1.271 = €3 811.92
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1791 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·20 = 240
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.3021
A = 250 000·0.005/(1 − 0.3021) = €1 791.08
3.NPV と IRR
答え: EAC = 11668 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.06−6)/0.06 = 4.917
EAC
EAC = 10 168.13 + 1 500 = €11 668.13
4.NPV と IRR
答え: IRR = 20.34 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−7)/i = 25 000/7 000 = 3.571
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 20%: 3.605
i = 21%: 3.508
IRR = 20.34%
5.債券の価格と利回り
答え: HPR = 12.37 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
購入価格
C = €80.00, i = 0.09, N = 11
€80.00·(1 − 0.3875)/0.09 + €1 000·0.3875 = €544.42 + €387.53 = €931.95
売却価格
C = €80.00, i = 0.085, N = 10
€80.00·(1 − 0.4423)/0.085 + €1 000·0.4423 = €524.91 + €442.29 = €967.19
保有期間利回り
HPR = (80 + 967.19 − 931.95)/931.95 = 12.37%
6.債券の価格と利回り
答え: P = 1050 €
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
推定価格変化
%ΔP ≈ −8.252·(0.005) = −4.126%
P ≈ 1095·(1 − 0.04126) = €1 049.82
デュレーションは線形の推定です。利回りの変化が大きいと、コンベクシティにより実際の価格は少し高くなります。
7.CAPM と WACC
答え: rm = 7.5 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (7.05% − 3%)/0.9 = 4.5%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.694 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€50.50 = €202 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3% + 1.1·4.5% = 7.95%
ウェイト
V = €212 200 000, E/V = 0.9519, D/V = 0.04807
WACC
WACC = 0.9519·7.95% + 0.04807·3.5%·(1 − 0.25) = 7.694%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1700 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (24 000 + 10 000)/20 = 1 700
10.損益分岐点分析
答え: MS = 37.5 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 6 000/3 = 2 000
安全余裕率
MS = (3 200 − 2 000)/3 200·100 = 37.5%