コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3%、四半期複利で €12 000 を投資します。7 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €12 0003% / 4n = 7

FV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€12 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €12 0002.4% / 12N = 72

A = €

3.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €9 000, €8 000, €6 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 8 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €8 000, €4 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €22 000 で、€7 000, €8 500, €11 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −22 000, 7 000, 8 500, 11 500

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 7% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 7%n = 3

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 075 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%n = 6P = €1 075

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 21% です。WACC を求めなさい。

E = €12 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 4% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1T = 25.8%r_f = 2.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある会社は 1 500 個を各 €35 で販売しています。1 個あたりの変動費は €15、固定費は €20 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。

Q = 1 500p = €35v = €15F = €20 000

DOL =

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は月に 3 000 個を各 €57 で販売しており、1 個あたりの変動費は €45、固定費は月 €14 400 です。1 個あたりの変動費が €2 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？

Q = 3 000p = €57v = €45 → €47F = €14 400

Q = 個

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: FV = 14793 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·7 = 28

将来価値

FV = 12 000·(1 + 0.0075)²⁸ = 12 000·1.233 = €14 792.54

答え

FV = €14 792.54

2.貨幣の時間価値

答え: A = 179.1 €

月利と返済回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.866

A = 12 000·0.002/(1 − 0.866) = €179.12

答え

A = €179.12

3.NPV と IRR

答え: NPV = 7380 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 9 000/1.07 = 8 411.21

CF₂/(1 + 0.07)² = 9 000/1.145 = 7 860.95

CF₃/(1 + 0.07)³ = 8 000/1.225 = 6 530.38

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 6 000/1.311 = 4 577.37

合計する

NPV = €7 379.92

答え

NPV = €7 379.92

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: r* = 6.579 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 7 000 − 11 500 = −4 500

ΔCF₂ = 8 500 − 8 000 = 500

ΔCF₃ = 11 500 − 4 500 = 7 000

差の IRR

NPV_Δ(6%) = 77.05

NPV_Δ(7%) = −54.80

r* = 6.579%

答え

r* = 6.579%

確認：6.579% では両方の NPV が €1 549.92 です。

5.債券の価格と利回り

答え: P = 973.4 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €30.00, i = 0.035, N = 6

クーポンの現在価値

€30.00·(1 − 0.8135)/0.035 = €159.86

額面の現在価値

€1 000·0.8135 = €813.50

価格

P = €973.36

答え

P = €973.36

利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 6.453 %

利回りの方程式

€1 075 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数値的に解く

P(6%) = €1 098.35, P(7%) = €1 047.67

YTM = 6.453%

答え

YTM = 6.453%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.166 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €17 000 000, E/V = 0.7059, D/V = 0.2941

WACC

WACC = 0.7059·9% + 0.2941·3.5%·(1 − 0.21) = 7.166%

答え

WACC = 7.166%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 7.582 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1/(1 + 0.742·0.5) = 0.7294

新しい D/E でリレバーする

β_L = 0.7294·(1 + 0.742·1) = 1.271

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.271·4% = 7.582%

答え

r_e = 7.582%

9.損益分岐点分析

答え: DOL = 3

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益の合計

CM = 1 500·(35 − 15) = €30 000

営業利益

Π = 30 000 − 20 000 = €10 000

DOL

DOL = 30 000/10 000 = 3

答え

DOL = 3

10.損益分岐点分析

答え: Q = 3600 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

現在の利益

Π = 3 000·(57 − 45) − 14 400 = €21 600

1 個あたりの新しい貢献利益

57 − 47 = €10

同じ利益に必要な個数

Q = (14 400 + 21 600)/10 = 3 600

答え

Q = 3 600 個

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