1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、四半期複利で €12 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0004% / 4n = 5
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
3 年後に €50 000 が欲しいとします。年 7.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。
FV = €50 0007.2% / 12N = 36
A = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000 です。4 年間、毎年末に €25 000 を生み、その後 €8 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF = €25 000S = €8 000n = 4r = 8%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€40 000 の投資が 6 年間、毎年末に €7 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €40 000CF = €7 500n = 6
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 7 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 8% のとき €844 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 7P = €844YTM = 8%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 10 年後に満期を迎え、€845 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3%n = 10P = €845
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の負債資本比率（時価）は 0.4 です。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 4.5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
D/E = 0.4re = 9%rd = 4.5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €27.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 020 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 3.5%rm = 9%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €20、1 個あたりの変動費は €15 です。固定費は月 €4 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €1 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €20v = €15F = €4 000T = 20%税引後利益 = €1 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 3 130 個を各 €32 で販売しており、1 個あたりの変動費は €30、固定費は €5 000 です。販売量が 12% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 3 130p = €32v = €30F = €5 000%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 14642 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·5 = 20
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.01)20 = 12 000·1.22 = €14 642.28
2.貨幣の時間価値
答え: A = 1248 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·3 = 36
積立額
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 50 000·0.006/(1.24 − 1) = €1 248.43
3.NPV と IRR
答え: NPV = 8683 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −80 000 + 82 803.17 + 5 880.24 = €8 683.41
4.NPV と IRR
答え: IRR = 3.473 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−6)/i = 40 000/7 500 = 5.333
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 3%: 5.417
i = 4%: 5.242
IRR = 3.473%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 5.004 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.08)−7 = €583.49
クーポン
C = (844 − 583.49)/5.206 = €50.04
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.008 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€845 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(5%) = €845.57, P(6%) = €779.20
YTM = 5.008%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.329 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
D/E からの重み
E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143
D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857
WACC
WACC = 0.7143·9% + 0.2857·4.5%·(1 − 0.3) = 7.329%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.669 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€27.50 = €55 000 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.1·5.5% = 9.55%
ウェイト
V = €75 400 000, E/V = 0.7294, D/V = 0.2706
WACC
WACC = 0.7294·9.55% + 0.2706·3.5%·(1 − 0.258) = 7.669%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1050 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な販売量
Q = (4 000 + 1 250)/5 = 1 050
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = 59.62 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 3 130·2 = €6 260
Π = 6 260 − 5 000 = €1 260
DOL
DOL = 6 260/1 260 = 4.968
利益の変化
%ΔΠ = 4.968·(+12%) = +59.62%
確認：新しい利益 = 3 506·2 − 5 000 = €2 011.20。