1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
クレジットカードの名目年利は 20%、四半期複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。
r = 20%m = 4
EAR = %
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 の住宅ローンを、年 6%、月複利で 25 年間の元利均等の月払いで返済します。3 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €150 0006% / 12N = 300k = 36
B = €
3.NPV と IRRふつう
€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €6 000, €5 000, €6 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 8%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 6 000CF3 = 5 000CF4 = 6 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €11 500, €12 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 12 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 6 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 9% のとき €731 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 6P = €731YTM = 9%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 9% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 4YTM = 9%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。
E = €10 000 000D = €3 000 000re = 10%rd = 4%T = 20%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €51.00 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 2%、市場収益率は 8.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 2%rm = 8.5%rd = 3.5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €25 000、1 個あたりの変動費が €15 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €40 000、1 個あたりの変動費が €9 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €25 000vA = €15FB = €40 000vB = €9
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 5 000 個を各 €18 で販売しており、1 個あたりの変動費は €12、固定費は月 €24 000 です。1 個あたりの変動費が €3 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 5 000p = €18v = €12 → €15F = €24 000
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: EAR = 21.55 %
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
1 年分の複利計算
EAR = (1 + 0.05)4 − 1 = 1.216 − 1 = 21.55%
利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。
2.貨幣の時間価値
答え: B = 141486 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.005, N = 300
A = 150 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−300) = €966.45
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 300 − 36 = 264
B = 966.5·(1 − (1 + 0.005)−264)/0.005 = €141 485.62
3.NPV と IRR
答え: NPV = 1857 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 9 000/1.08 = 8 333.33
CF2/(1 + 0.08)2 = 6 000/1.166 = 5 144.03
CF3/(1 + 0.08)3 = 5 000/1.26 = 3 969.16
CF4/(1 + 0.08)4 = 6 000/1.36 = 4 410.18
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 12.87 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 785.12
NPV(15%) = −548.20
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·785.12/(785.12 − (−548.20)) = 12.94%
正確な値: NPV(12.87%) = 0 → IRR = 12.87%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 3.003 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.09)−6 = €596.27
クーポン
C = (731 − 596.27)/4.486 = €30.03
6.債券の価格と利回り
答え: D = 3.569 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 80/1.09 = 73.39, t·PV = 73.39
t = 2: 80/1.188 = 67.33, t·PV = 134.67
t = 3: 80/1.295 = 61.77, t·PV = 185.32
t = 4: 1080/1.412 = 765.10, t·PV = 3 060.40
デュレーション
P = 967.60
D = 3 453.78/967.60 = 3.569
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.431 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·10% + 0.2308·4%·(1 − 0.2) = 8.431%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.624 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€51.00 = €102 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 2% + 1.2·6.5% = 9.8%
ウェイト
V = €122 000 000, E/V = 0.8361, D/V = 0.1639
WACC
WACC = 0.8361·9.8% + 0.1639·3.5%·(1 − 0.25) = 8.624%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
25 000 + 15Q = 40 000 + 9Q
Q について解く
Q = (40 000 − 25 000)/(15 − 9) = 2 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: Q = 10000 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 5 000·(18 − 12) − 24 000 = €6 000
同じ利益に必要な個数
Q = (24 000 + 6 000)/3 = 10 000