1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €2 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 2.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €2 000g = 2.5%r = 6.5%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€15 000 のローンを、年 3%、月複利で 6 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？
P = €15 0003% / 12N = 72
I = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€14 000, €10 000, €13 000, €12 000。資本コストは 15% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 15%CF0 = −30 000CF1 = 14 000CF2 = 10 000CF3 = 13 000CF4 = 12 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €4 500, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 8%n = 9
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 8% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは 5.5% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 4YTM = 5.5%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €4 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €4 000 000D = €5 000 000re = 9%rd = 3.5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €16.00 の株式 2 500 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 40 000 口をもっています。税引前負債コストは 4.5%、税率は 28% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 1%、市場収益率は 6.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 1%rm = 6.5%rd = 4.5%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €9 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €12 500 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €12 500p = €9v = €4利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 1 800 個を各 €30 で販売しており、1 個あたりの変動費は €18、固定費は月 €14 400 です。1 個あたりの変動費が €3 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 1 800p = €30v = €18 → €21F = €14 400
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 50000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 2 000/(0.065 − 0.025) = 2 000/0.04 = €50 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: I = 1409 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0025, N = 72
A = 15 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−72) = €227.91
利息の総額
I = N·A − P = 72·227.9 − 15 000 = €1 409.17
3.NPV と IRR
答え: NPV = 5144 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 14 000/1.15 = 12 173.91
CF2/(1 + 0.15)2 = 10 000/1.322 = 7 561.44
CF3/(1 + 0.15)3 = 13 000/1.521 = 8 547.71
CF4/(1 + 0.15)4 = 12 000/1.749 = 6 861.04
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 6.203 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 181.41
NPV(10%) = −537.19
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·181.41/(181.41 − (−537.19)) = 6.262%
正確な値: NPV(6.203%) = 0 → IRR = 6.203%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 746.8 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.04, N = 18
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.4936)/0.04 = €253.19
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: D = 3.596 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 80/1.055 = 75.83, t·PV = 75.83
t = 2: 80/1.113 = 71.88, t·PV = 143.75
t = 3: 80/1.174 = 68.13, t·PV = 204.39
t = 4: 1080/1.239 = 871.79, t·PV = 3 487.18
デュレーション
P = 1 087.63
D = 3 911.15/1 087.63 = 3.596
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.458 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €9 000 000, E/V = 0.4444, D/V = 0.5556
WACC
WACC = 0.4444·9% + 0.5556·3.5%·(1 − 0.25) = 5.458%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.367 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€16.00 = €40 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.2·5.5% = 7.6%
ウェイト
V = €82 000 000, E/V = 0.4878, D/V = 0.5122
WACC
WACC = 0.4878·7.6% + 0.5122·4.5%·(1 − 0.28) = 5.367%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 3700 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (12 500 + 6 000)/5 = 3 700
10.損益分岐点分析
答え: Q = 2400 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 1 800·(30 − 18) − 14 400 = €7 200
同じ利益に必要な個数
Q = (14 400 + 7 200)/9 = 2 400