1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
3 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 2%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €25 0002% / 12n = 3
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
29 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €2504.2% / 12N = 348
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €40 000 です。5 年間、毎年末に €10 500 を生み、その後 €8 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €40 000CF = €10 500S = €8 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €29 000, €17 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 17 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 3.5%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 8% の債券が 4 年後に満期を迎え、€920 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 8%n = 4P = €920
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ベータ 1.6 の株式の要求収益率は 10.7% です。無リスク金利は 3.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 1.6re = 10.7%rf = 3.5%
rm = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 0.9 です。負債資本比率を 1 に引き上げる計画です。税率は 30%、無リスク金利は 1%、市場リスクプレミアムは 7% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 0.9D/E1 = 0.4D/E2 = 1T = 30%rf = 1%rm − rf = 7%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 6 000 個を各 €24 で販売しています。1 個あたりの変動費は €18、固定費は €12 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 6 000p = €24v = €18F = €12 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 3 750 個を各 €45 で販売しており、1 個あたりの変動費は €25、固定費は €30 000 です。販売量が 5% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 3 750p = €45v = €25F = €30 000%ΔQ = +5%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 23545 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·3 = 36
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.062 = €23 545.29
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 169517 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·29 = 348
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 250·(3.373 − 1)/0.0035 = €169 517.08
自分で払い込んだのは €87 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 4771 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −40 000 + 39 803.26 + 4 967.37 = €4 770.63
4.NPV と IRR
答え: IRR = 11.68 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 826.45
NPV(15%) = −1 550.09
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·826.45/(826.45 − (−1 550.09)) = 11.74%
正確な値: NPV(11.68%) = 0 → IRR = 11.68%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1031 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0175, N = 14
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €246.44
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 10.55 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数値的に解く
P(10%) = €936.60, P(11%) = €906.93
YTM = 10.55%
7.CAPM と WACC
答え: rm = 8 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム
rm − rf = (10.7% − 3.5%)/1.6 = 4.5%
8.CAPM と WACC
答え: re = 9.367 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 0.9/(1 + 0.7·0.4) = 0.7031
新しい D/E でリレバーする
βL = 0.7031·(1 + 0.7·1) = 1.195
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.195·7% = 9.367%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 1.5
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 6 000·(24 − 18) = €36 000
営業利益
Π = 36 000 − 12 000 = €24 000
DOL
DOL = 36 000/24 000 = 1.5
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = 8.333 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 3 750·20 = €75 000
Π = 75 000 − 30 000 = €45 000
DOL
DOL = 75 000/45 000 = 1.667
利益の変化
%ΔΠ = 1.667·(+5%) = +8.333%
確認：新しい利益 = 3 938·20 − 30 000 = €48 750.00。