1 公式と解法貨幣の時間価値
将来価値 FV = PV·(1 + i)n
現在価値 PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間 i = r/m, N = m·n
年金現価 PV = PMT·[1 − (1 + i)−n ]/i
年金終価 FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i 解き方 すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。 答えの符号と桁を確認します。 NPV と IRR
正味現在価値 NPV = −C0 + Σ CFt /(1 + r)t
均等なキャッシュフロー NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n ]/r
内部収益率 NPV = 0 となる r
判断 NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用 解き方 すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。 各キャッシュフローを割り引きます：CFt /(1 + r)t 。 それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。 IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。 債券の価格と利回り
債券価格 P = C·(1 − (1 + y)−n )/y + F/(1 + y)n
半年ごとの利払い C/2、y/2、2n 期
直接利回り C/P
価格と利回り 利回り上昇 → 価格下落 解き方 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。 CAPM と WACC
CAPM re = rf + β·(rm − rf )
WACC E/V·re + D/V·rd ·(1 − T)
企業価値 V = E + D 損益分岐点分析
貢献利益 CM = p − v
損益分岐点販売量 QBE = FC/(p − v)
目標利益 Q = (FC + profit)/(p − v)
利益 π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率 (Q − QBE )/Q 2 演習問題1. 貨幣の時間価値 ふつう
€10 000 を年 7%、連続複利で投資します。19 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €10 000 r = 7% t = 19
FV =
2. 貨幣の時間価値 むずかしい
か月 0 1 2 3 … 168 €500 €500 €500 FV = ? 14 年間、毎月末に €500 を積み立てます。口座の利率は年 6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €500 6% / 12 N = 168
FV =
3. NPV と IRR ふつう
年 0 1 2 3 4 5 €40 000 €1 500 €1 500 €1 500 €1 500 €1 500 r = 5%, EAC = ? ある機械の費用は今日 €40 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €1 500（各年末に支払い）です。資本コストは 5% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €40 000 M = €1 500 n = 5 r = 5%
EAC =
4. NPV と IRR むずかしい
年 0 1 2 3 −40 000 27 000 15 000 24 500 あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €27 000, €15 000, €24 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000 CF1 = 27 000 CF2 = 15 000 CF3 = 24 500
IRR =
5. 債券の価格と利回り ふつう
半年 0 1 2 3 … 10 €35 €35 €35 + €1 000 P = ? 額面 €1 000 の債券が、年 7% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 8% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000 クーポンレート = 7% YTM = 8% n = 5
P =
6. 債券の価格と利回り むずかしい
年 0 1 2 3 4 5 6 €1 085 €30 €30 + €1 000 額面 €1 000、年クーポン 3% の債券が 6 年後に満期を迎え、€1 085 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000 クーポンレート = 3% n = 6 P = €1 085
YTM =
7. CAPM と WACC ふつう
β r (%) SML rf = 2.5% β = 1 rm = ? β = 2 re = 14.5% ベータ 2 の株式の要求収益率は 14.5% です。無リスク金利は 2.5% です。CAPM から導かれる市場の期待収益率 rm はいくらですか？
β = 2 re = 14.5% rf = 2.5%
rm =
8. CAPM と WACC むずかしい
rf = 3.5%, rm − rf = 4.5% D/E = 0.4 自己資本 βL = 0.9 負債 D/E = 1.5 自己資本 re = ? 負債 T = 25.8%
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.4 で 0.9 です。負債資本比率を 1.5 に引き上げる計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 3.5%、市場リスクプレミアムは 4.5% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 0.9 D/E1 = 0.4 D/E2 = 1.5 T = 25.8% rf = 3.5% rm − rf = 4.5%
re =
9. 損益分岐点分析 ふつう
ある製品は 1 個 €14 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €50 000 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €50 000 p = €14 v = €4 利益 = €12 000
Q =
10. 損益分岐点分析 むずかしい
F = €5 400, Q = ? 販売構成 3 × A p = €12 v = €8 1 × B p = €30 v = €15
ある会社は 2 つの製品を販売しています。製品 A の単価は €12、変動費は €8、製品 B の単価は €30、変動費は €15 です。両製品は A 3 個に対して B 1 個の一定の構成比で売れます。固定費は月 €5 400 です。損益分岐点に必要な総販売個数 Q （A と B の合計）を求めなさい。
pA = €12, vA = €8 pB = €30, vB = €15 A : B = 3 : 1 F = €5 400
Q =
3 溶液1. 貨幣の時間価値
答え: FV = 37810 €
貨幣の時間価値： 今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数 r·t = 0.07·19 = 1.33
e1.33 = 3.781
将来価値 FV = 10 000·3.781 = €37 810.43
2. 貨幣の時間価値
答え: FV = 131152 €
貨幣の時間価値： 今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数 i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·14 = 168
積立金の将来価値 FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(2.312 − 1)/0.005 = €131 152.38
自分で払い込んだのは €84 000。残りは利息です。
3. NPV と IRR
答え: EAC = 10739 €
等価年間費用： すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数 (1 − 1.05−5 )/0.05 = 4.329
EAC EAC = 9 238.99 + 1 500 = €10 738.99
4. NPV と IRR
答え: IRR = 31.46 %
正味現在価値： 各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む 利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 796.54
NPV(35%) = −1 811.72
絞り込む 線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·796.54/(796.54 − (−1 811.72)) = 31.53%
正確な値: NPV(31.46%) = 0 → IRR = 31.46%
5. 債券の価格と利回り
答え: P = 959.4 €
債券の価格： 債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり C = €35.00, i = 0.04, N = 10
クーポンの現在価値 €35.00·(1 − 0.6756)/0.04 = €283.88
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6. 債券の価格と利回り
答え: YTM = 1.508 %
債券の価格： 債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式 €1 085 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く P(1%) = €1 115.91, P(2%) = €1 056.01
YTM = 1.508%
7. CAPM と WACC
答え: rm = 8.5 %
資本コスト： CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf )。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd ·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
市場リスクプレミアム rm − rf = (14.5% − 2.5%)/2 = 6%
8. CAPM と WACC
答え: re = 10.1 %
レバードベータ（ハマダの式）： 負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU ·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする βU = 0.9/(1 + 0.742·0.4) = 0.694
新しい D/E でリレバーする βL = 0.694·(1 + 0.742·1.5) = 1.466
株主資本コスト（CAPM） re = 3.5% + 1.466·4.5% = 10.1%
9. 損益分岐点分析
答え: Q = 6200 個
CVP 分析： 製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量 Q = (F + 利益)/(p − v) = (50 000 + 12 000)/10 = 6 200
10. 損益分岐点分析
答え: Q = 800 個
販売構成比がある場合の損益分岐点： 製品が一定の比率で売れるときは、加重平均貢献利益を使います：各製品の p − v を個数の割合で重み付けします。損益分岐点販売量 = F/（加重貢献利益）で、それを再び構成比で分けます。
損益分岐点販売量 Q = 5 400/6.75 = 800
A: 600, B: 200