1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€10 000 を年 5%、連続複利で投資します。15 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €10 000r = 5%t = 15
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
26 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1004.2% / 12N = 312
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€22 000, €19 000, €20 000。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 8%CF0 = −45 000CF1 = 22 000CF2 = 19 000CF3 = 20 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €19 000, €26 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 26 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 9%n = 12
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 10 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 7%）が €1 074 で売られています。発行者は 3 年後に €1 070 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 7%P = €1 074繰上償還価格 = €1 070繰上償還まで 3 年
YTC = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €3 000 000、負債の価値は €4 000 000 です。WACC は 5.23%、税引前負債コストは 3%、税率は 20% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €3 000 000D = €4 000 000WACC = 5.23%rd = 3%T = 20%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €47.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 1.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 1.5%rm = 7.5%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €33 で売られ、変動費は 1 個あたり €18 です。固定費は月 €18 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €18 000p = €33v = €18利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €35 で売られ、変動費は 1 個あたり €30、固定費は年 €10 000 です。予算販売量は 3 200 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €10 000p = €35v = €30予算 = 3 200
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 21170 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.05·15 = 0.75
e0.75 = 2.117
将来価値
FV = 10 000·2.117 = €21 170.00
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 56416 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·26 = 312
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(2.975 − 1)/0.0035 = €56 415.77
自分で払い込んだのは €31 200。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 7536 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 22 000/1.08 = 20 370.37
CF2/(1 + 0.08)2 = 19 000/1.166 = 16 289.44
CF3/(1 + 0.08)3 = 20 000/1.26 = 15 876.64
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 8.538 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 2 131.52
NPV(10%) = −826.45
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·2 131.52/(2 131.52 − (−826.45)) = 8.603%
正確な値: NPV(8.538%) = 0 → IRR = 8.538%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 673.9 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.045, N = 24
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.3477)/0.045 = €326.15
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTC = 6.401 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1074 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
数値的に解く
y = 6%: €1 085.50
y = 7%: €1 057.14
YTC = 6.401%
最終利回りは 5.995% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
7.CAPM と WACC
答え: re = 9.003 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714
WACC の負債の部分
0.5714·3%·(1 − 0.2) = 1.371%
株主資本コスト
re = (5.23% − 1.371%)/0.4286 = 9.003%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.057 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€47.50 = €95 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1.5% + 0.8·6% = 6.3%
ウェイト
V = €105 000 000, E/V = 0.9048, D/V = 0.09524
WACC
WACC = 0.9048·6.3% + 0.09524·5%·(1 − 0.25) = 6.057%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1600 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (18 000 + 6 000)/15 = 1 600
10.損益分岐点分析
答え: MS = 37.5 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 10 000/5 = 2 000
安全余裕率
MS = (3 200 − 2 000)/3 200·100 = 37.5%