コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €8 000 を 9 年間支払います。利率は年 3% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €8 000i = 3%n = 9

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

30 年間、毎月末に €150 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €1505.4% / 12N = 360

FV = €

3.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€24 000, €25 000, €35 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −75 000CF₁ = 24 000CF₂ = 25 000CF₃ = 35 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €14 500, €14 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 14 000

IRR = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 5%YTM = 3.5%n = 4

P = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

残存期間 16 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 8%）が €1 094 で売られています。発行者は 3 年後に €1 080 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 8%P = €1 094繰上償還価格 = €1 080繰上償還まで 3 年

YTC = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 7%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.1 です。負債資本比率を 1 にする計画です。税率は 28%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 5.5% です。新しい資本構成での株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_U = 1.1D/E = 1T = 28%r_f = 2.5%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €15 000、1 個あたりの変動費が €12 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €16 000、1 個あたりの変動費が €10 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？

F_A = €15 000v_A = €12F_B = €16 000v_B = €10

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 1 920 個を各 €57 で販売しており、1 個あたりの変動費は €45、固定費は €14 400 です。販売量が 12% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 1 920p = €57v = €45F = €14 400%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 62289 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7664)/0.03 = 7.786

現在価値

PV = 8 000·7.786 = €62 288.87

答え

PV = €62 288.87

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 134492 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·30 = 360

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(5.035 − 1)/0.0045 = €134 492.01

答え

FV = €134 492.01

自分で払い込んだのは €54 000。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = −2164 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 24 000/1.07 = 22 429.91

CF₂/(1 + 0.07)² = 25 000/1.145 = 21 835.97

CF₃/(1 + 0.07)³ = 35 000/1.225 = 28 570.43

合計する

NPV = €−2 163.70

答え

NPV = €−2 163.70

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: IRR = 27.43 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(25%) = 560.00

NPV(30%) = −562.13

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 25 + 5·560.00/(560.00 − (−562.13)) = 27.5%

正確な値: NPV(27.43%) = 0 → IRR = 27.43%

答え

IRR = 27.43%

5.債券の価格と利回り

答え: P = 1056 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €25.00, i = 0.0175, N = 8

クーポンの現在価値

€25.00·(1 − 0.8704)/0.0175 = €185.13

額面の現在価値

€1 000·0.8704 = €870.41

価格

P = €1 055.54

答え

P = €1 055.54

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

6.債券の価格と利回り

答え: YTC = 6.914 %

利回りの方程式

1094 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

数値的に解く

y = 6%: €1 120.63

y = 7%: €1 091.55

YTC = 6.914%

答え

YTC = 6.914%

最終利回りは 7.005% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.857 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·10% + 0.7143·7%·(1 − 0.2) = 6.857%

答え

WACC = 6.857%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 12.91 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

レバードベータ

β_L = 1.1·(1 + 0.72·1) = 1.892

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.892·5.5% = 12.91%

答え

r_e = 12.91%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 500 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

総費用が等しい

15 000 + 12Q = 16 000 + 10Q

Q について解く

Q = (16 000 − 15 000)/(12 − 10) = 500

答え

Q = 500 個

この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = 32 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 1 920·12 = €23 040

Π = 23 040 − 14 400 = €8 640

DOL

DOL = 23 040/8 640 = 2.667

利益の変化

%ΔΠ = 2.667·(+12%) = +32%

答え

%ΔΠ = +32%

確認：新しい利益 = 2 150·12 − 14 400 = €11 404.80。

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