1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、四半期複利で €12 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0004% / 4n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
10 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 3.6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €1003.6% / 12N = 120
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€15 000, €28 000, €24 000, €22 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 7.000000000000001%CF0 = −75 000CF1 = 15 000CF2 = 28 000CF3 = 24 000CF4 = 22 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €4 500, €6 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 6% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%YTM = 3.5%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 3% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、5 年後に満期を迎えます。価格は €912 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 3% (2×)n = 5P = €912
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の事業のアンレバードベータ（資産ベータ）は 1.2 です。負債資本比率を 0.25 にする計画です。税率は 25.8%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 5% です。新しい資本構成での株主資本コスト re を求めなさい。
βU = 1.2D/E = 0.25T = 25.8%rf = 2.5%rm − rf = 5%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €9、1 個あたりの変動費は €4 です。固定費は月 €5 000 で、利益には 25% の税金がかかります。税引後で €1 500 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €9v = €4F = €5 000T = 25%税引後利益 = €1 500
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €24 で売られ、変動費は 1 個あたり €4、固定費は年 €80 000 です。予算販売量は 6 400 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €80 000p = €24v = €4予算 = 6 400
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 16499 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/4 = 0.01
N = m·n = 4·8 = 32
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.01)32 = 12 000·1.375 = €16 499.29
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 14419 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·10 = 120
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(1.433 − 1)/0.003 = €14 418.57
自分で払い込んだのは €12 000。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = −150.2 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 15 000/1.07 = 14 018.69
CF2/(1 + 0.07)2 = 28 000/1.145 = 24 456.28
CF3/(1 + 0.07)3 = 24 000/1.225 = 19 591.15
CF4/(1 + 0.07)4 = 22 000/1.311 = 16 783.69
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 6.203 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 181.41
NPV(10%) = −537.19
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·181.41/(181.41 − (−537.19)) = 6.262%
正確な値: NPV(6.203%) = 0 → IRR = 6.203%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1154 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €30.00, i = 0.0175, N = 14
クーポンの現在価値
€30.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €369.66
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.012 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.254 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727
WACC
WACC = 0.7273·9% + 0.2727·3.5%·(1 − 0.258) = 7.254%
8.CAPM と WACC
答え: re = 9.613 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
レバードベータ
βL = 1.2·(1 + 0.742·0.25) = 1.423
株主資本コスト（CAPM）
re = 2.5% + 1.423·5% = 9.613%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1400 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
1 500/(1 − 0.25) = €2 000
必要な販売量
Q = (5 000 + 2 000)/5 = 1 400
10.損益分岐点分析
答え: MS = 37.5 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 80 000/20 = 4 000
安全余裕率
MS = (6 400 − 4 000)/6 400·100 = 37.5%