コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

2 年後に €50 000 が必要です。口座の利率は年 4%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €50 0004% / 12n = 2

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

15 年間、毎月末に €200 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2005.4% / 12N = 180

FV = €

3.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€19 000, €26 000, €13 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 26 000CF₃ = 13 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €10 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €5 500, €4 000, €2 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €15 000 で、€4 000, €6 500, €8 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 500, 8 000

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5.5% から 6% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 4.5%n = 4y₁ = 5.5%y₂ = 6%

ΔP = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 9 年後に満期を迎え、€905 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 9P = €905

YTM = %

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.2 で 1.3 です。負債資本比率を 1.25 に引き上げる計画です。税率は 30%、無リスク金利は 2.5%、市場リスクプレミアムは 7% です。変更後の株主資本コスト r_e を求めなさい。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.2D/E₂ = 1.25T = 30%r_f = 2.5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品は 1 個 €30 で売られ、変動費は 1 個あたり €18 です。固定費は月 €14 400 です。月 €12 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

F = €14 400p = €30v = €18利益 = €12 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある会社は 2 000 個を各 €40 で販売しており、1 個あたりの変動費は €20、固定費は €20 000 です。販売量が 20% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？

Q = 2 000p = €40v = €20F = €20 000%ΔQ = +20%

%ΔΠ = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 46162 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·2 = 24

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.083 = €46 161.96

答え

PV = €46 161.96

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 55281 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·15 = 180

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(2.244 − 1)/0.0045 = €55 281.21

答え

FV = €55 281.21

自分で払い込んだのは €36 000。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = −8922 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 19 000/1.07 = 17 757.01

CF₂/(1 + 0.07)² = 26 000/1.145 = 22 709.41

CF₃/(1 + 0.07)³ = 13 000/1.225 = 10 611.87

合計する

NPV = €−8 921.71

答え

NPV = €−8 921.71

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

4.NPV と IRR

答え: r* = 8.826 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 5 500 = −1 500

ΔCF₂ = 6 500 − 4 000 = 2 500

ΔCF₃ = 8 000 − 2 500 = 5 500

差の IRR

NPV_Δ(8%) = 120.54

NPV_Δ(9%) = −24.94

r* = 8.826%

答え

r* = 8.826%

確認：8.826% では両方の NPV が €371.17 です。

5.債券の価格と利回り

答え: ΔP = −16.93 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €45.00, i = 0.055, N = 4

€45.00·(1 − 0.8072)/0.055 + €1 000·0.8072 = €157.73 + €807.22 = €964.95

新しい利回りでの価格

C = €45.00, i = 0.06, N = 4

€45.00·(1 − 0.7921)/0.06 + €1 000·0.7921 = €155.93 + €792.09 = €948.02

変化

ΔP = 948.02 − 964.95 = −€16.93

答え

ΔP = −€16.93

6.債券の価格と利回り

答え: YTM = 7.489 %

利回りの方程式

€905 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数値的に解く

P(7%) = €934.85, P(8%) = €875.06

YTM = 7.489%

答え

YTM = 7.489%

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.95 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·9% + 0.5·7%·(1 − 0.3) = 6.95%

答え

WACC = 6.95%

8.CAPM と WACC

答え: r_e = 17.47 %

レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E) で、β_U は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。

ベータをアンレバーする

β_U = 1.3/(1 + 0.7·0.2) = 1.14

新しい D/E でリレバーする

β_L = 1.14·(1 + 0.7·1.25) = 2.138

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 2.138·7% = 17.47%

答え

r_e = 17.47%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 2200 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

1 個あたりの貢献利益

p − v = 30 − 18 = €12

目標利益のための販売量

Q = (F + 利益)/(p − v) = (14 400 + 12 000)/12 = 2 200

答え

Q = 2 200 個

10.損益分岐点分析

答え: %ΔΠ = 40 %

営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。

貢献利益と利益

CM = 2 000·20 = €40 000

Π = 40 000 − 20 000 = €20 000

DOL

DOL = 40 000/20 000 = 2

利益の変化

%ΔΠ = 2·(+20%) = +40%

答え

%ΔΠ = +40%

確認：新しい利益 = 2 400·20 − 20 000 = €28 000.00。

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