1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
€20 000 を年 2%、連続複利で投資します。12 年後の価値 FV を求めなさい。
PV = €20 000r = 2%t = 12
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
26 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €504.8% / 12N = 312
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€29 000, €12 000, €21 000, €22 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −60 000CF1 = 29 000CF2 = 12 000CF3 = 21 000CF4 = 22 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €150 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €30 000 で、6 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €150 000CF1 = €30 000g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、9 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 3%n = 9
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 5% の債券が 10 年後に満期を迎え、€925 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5%n = 10P = €925
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €6 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 10%、税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €6 000 000D = €4 000 000re = 10%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €54.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 5 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 4%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 4%rm = 8%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €40 で売られ、変動費は 1 個あたり €25 です。固定費は月 €18 000 です。月 €6 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €18 000p = €40v = €25利益 = €6 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 750 個を各 €10 で販売しており、1 個あたりの変動費は €4、固定費は €3 000 です。販売量が 20% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 750p = €10v = €4F = €3 000%ΔQ = +20%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 25425 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
指数
r·t = 0.02·12 = 0.24
e0.24 = 1.271
将来価値
FV = 20 000·1.271 = €25 424.98
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 30934 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·26 = 312
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(3.475 − 1)/0.004 = €30 933.86
自分で払い込んだのは €15 600。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 4388 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 29 000/1.12 = 25 892.86
CF2/(1 + 0.12)2 = 12 000/1.254 = 9 566.33
CF3/(1 + 0.12)3 = 21 000/1.405 = 14 947.39
CF4/(1 + 0.12)4 = 22 000/1.574 = 13 981.40
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: NPV = −3869 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.1))6 = 0.7564
PV = 30 000/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.7564) = 146 130.57
NPV
NPV = 146 130.57 − 150 000 = −€3 869.43
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1118 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.015, N = 18
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.7649)/0.015 = €352.63
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 6.02 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€925 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(6%) = €926.40, P(7%) = €859.53
YTM = 6.02%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.96 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4
WACC
WACC = 0.6·10% + 0.4·7%·(1 − 0.3) = 7.96%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.053 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€54.50 = €136 250 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
ウェイト
V = €141 150 000, E/V = 0.9653, D/V = 0.03471
WACC
WACC = 0.9653·7.2% + 0.03471·4%·(1 − 0.258) = 7.053%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 1600 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (18 000 + 6 000)/15 = 1 600
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = 60 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 750·6 = €4 500
Π = 4 500 − 3 000 = €1 500
確認：新しい利益 = 900·6 − 3 000 = €2 400.00。