1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、四半期複利で €3 000 を投資します。8 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €3 0003% / 4n = 8
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€200 000 の住宅ローンを、年 5.4%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。5 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €200 0005.4% / 12N = 240k = 60
B = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €80 000 です。3 年間、毎年末に €28 500 を生み、その後 €20 000 で売却できます。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF = €28 500S = €20 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €7 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €50 000CF1 = €7 000g = 5%n = 8r = 8%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 11 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 8% のとき €572 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 11P = €572YTM = 8%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、4 年後に満期を迎えます。価格は €892 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2% (2×)n = 4P = €892
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社は、価値 €8 000 000 の普通株、価値 €1 500 000 の優先株、価値 €6 000 000 の負債で資金調達しています。株主資本コストは 11%、優先株のコストは 6%、税引前負債コストは 4% です。税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000Ps = €1 500 000D = €6 000 000re = 11%rp = 6%rd = 4%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €45.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 20% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 3%、市場収益率は 8% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 3%rm = 8%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €15 000、1 個あたりの変動費が €25 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €16 500、1 個あたりの変動費が €22 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €15 000vA = €25FB = €16 500vB = €22
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 2 000 個を各 €45 で販売しており、1 個あたりの変動費は €30、固定費は €12 000 です。販売量が 10% 減少すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 2 000p = €45v = €30F = €12 000%ΔQ = −10%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 3810 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·8 = 32
将来価値
FV = 3 000·(1 + 0.0075)32 = 3 000·1.27 = €3 810.33
2.貨幣の時間価値
答え: B = 168086 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0045, N = 240
A = 200 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−240) = €1 364.50
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 60 = 180
B = 1365·(1 − (1 + 0.0045)−180)/0.0045 = €168 086.44
3.NPV と IRR
答え: NPV = 5902 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −80 000 + 70 875.28 + 15 026.30 = €5 901.58
4.NPV と IRR
答え: NPV = −2919 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.08))8 = 0.7982
PV = 7 000/(0.08 − 0.05)·(1 − 0.7982) = 47 081.25
NPV
NPV = 47 081.25 − 50 000 = −€2 918.75
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: c = 2.005 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.08)−11 = €428.88
クーポン
C = (572 − 428.88)/7.139 = €20.05
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.013 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.419 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = 8 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €15 500 000
E/V = 0.5161, Ps/V = 0.09677, D/V = 0.3871
WACC
WACC = 0.5161·11% + 0.09677·6% + 0.3871·4%·(1 − 0.25) = 7.419%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 8.208 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€45.00 = €180 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
ウェイト
V = €190 500 000, E/V = 0.9449, D/V = 0.05512
WACC
WACC = 0.9449·8.5% + 0.05512·4%·(1 − 0.2) = 8.208%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
15 000 + 25Q = 16 500 + 22Q
Q について解く
Q = (16 500 − 15 000)/(25 − 22) = 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = −16.67 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 2 000·15 = €30 000
Π = 30 000 − 12 000 = €18 000
DOL
DOL = 30 000/18 000 = 1.667
利益の変化
%ΔΠ = 1.667·(−10%) = −16.67%
確認：新しい利益 = 1 800·15 − 12 000 = €15 000.00。