1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 2%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €5 0002% / 12n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€150 000 のローンを 30 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 2.4%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。
P = €150 0002.4% / 12N = 360
A = €
3.NPV と IRRふつう
€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€15 000, €18 000, €15 000, €13 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −45 000CF1 = 15 000CF2 = 18 000CF3 = 15 000CF4 = 13 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €10 500 で、7 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 5% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €80 000CF1 = €10 500g = 5%n = 7r = 12%
NPV = €
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りが 5% から 7% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 5y1 = 5%y2 = 7%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、5 年後に満期を迎えます。最終利回りは 9% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%n = 5YTM = 9%
D = 年
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €8 000 000 の株主資本と時価 €3 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 5%、税率は 25% です。WACC を求めなさい。
E = €8 000 000D = €3 000 000re = 13%rd = 5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €25.00 の株式 1 000 000 株と、1 口 €980 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 3.5%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.2、無リスク金利は 3.5%、市場収益率は 10.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.2rf = 3.5%rm = 10.5%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €17、1 個あたりの変動費は €12 です。固定費は月 €7 500 で、利益には 25% の税金がかかります。税引後で €3 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €17v = €12F = €7 500T = 25%税引後利益 = €3 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €14 で売られ、変動費は 1 個あたり €8、固定費は年 €6 000 です。予算販売量は 1 250 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €6 000p = €14v = €8予算 = 1 250
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 4435 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·6 = 72
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1.127 = €4 435.05
2.貨幣の時間価値
答え: A = 584.9 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と返済回数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·30 = 360
返済額
等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。
(1 + i)−N = 0.4871
A = 150 000·0.002/(1 − 0.4871) = €584.91
3.NPV と IRR
答え: NPV = 1681 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 15 000/1.12 = 13 392.86
CF2/(1 + 0.12)2 = 18 000/1.254 = 14 349.49
CF3/(1 + 0.12)3 = 15 000/1.405 = 10 676.70
CF4/(1 + 0.12)4 = 13 000/1.574 = 8 261.74
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: NPV = −25475 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
成長型年金の現在価値
((1.05)/(1.12))7 = 0.6365
PV = 10 500/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.6365) = 54 524.88
NPV
NPV = 54 524.88 − 80 000 = −€25 475.12
NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −84.3 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.05, N = 5
€60.00·(1 − 0.7835)/0.05 + €1 000·0.7835 = €259.77 + €783.53 = €1 043.29
新しい利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.07, N = 5
€60.00·(1 − 0.713)/0.07 + €1 000·0.713 = €246.01 + €712.99 = €959.00
変化
ΔP = 959.00 − 1 043.29 = −€84.30
6.債券の価格と利回り
答え: D = 4.581 年
デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
各キャッシュフローの現在価値
t = 1: 40/1.09 = 36.70, t·PV = 36.70
t = 2: 40/1.188 = 33.67, t·PV = 67.33
t = 3: 40/1.295 = 30.89, t·PV = 92.66
t = 4: 40/1.412 = 28.34, t·PV = 113.35
t = 5: 1040/1.539 = 675.93, t·PV = 3 379.64
デュレーション
P = 805.52
D = 3 689.68/805.52 = 4.581
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.48 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727
WACC
WACC = 0.7273·13% + 0.2727·5%·(1 − 0.25) = 10.48%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.812 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 1 000 000·€25.00 = €25 000 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 3.5% + 1.2·7% = 11.9%
ウェイト
V = €44 600 000, E/V = 0.5605, D/V = 0.4395
WACC
WACC = 0.5605·11.9% + 0.4395·3.5%·(1 − 0.258) = 7.812%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 2300 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
3 000/(1 − 0.25) = €4 000
必要な販売量
Q = (7 500 + 4 000)/5 = 2 300
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 6 000/6 = 1 000
安全余裕率
MS = (1 250 − 1 000)/1 250·100 = 20%