1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3%、月複利で €12 000 を投資します。7 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €12 0003% / 12n = 7
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
12 年間、毎年初めに €2 500 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。12 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €2 500i = 7%n = 12
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €30 000 です。3 年間、毎年末に €11 000 を生み、その後 €3 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €30 000CF = €11 000S = €3 000n = 3r = 8%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€25 000 の投資が 9 年間、毎年末に €4 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €25 000CF = €4 500n = 9
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 7% のクーポンを支払い、12 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 1.5% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 7%n = 12y1 = 3%y2 = 1.5%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、12 年後に満期を迎えます。価格は €1 258 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 5% (2×)n = 12P = €1 258
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €8 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 10.47%、税引前負債コストは 5%、税率は 25.8% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 10.47%rd = 5%T = 25.8%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €35.00 の株式 4 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 5%、税率は 21% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 1%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。
β = 1.1rf = 1%rm = 7.5%rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €12 で売られ、変動費は 1 個あたり €4 です。固定費は月 €4 000 です。月 €2 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €4 000p = €12v = €4利益 = €2 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は月に 1 800 個を各 €57 で販売しており、1 個あたりの変動費は €45、固定費は月 €14 400 です。1 個あたりの変動費が €3 上がり、価格は変わりません。同じ利益を保つには、今後月に何個 Q 売る必要がありますか？
Q = 1 800p = €57v = €45 → €48F = €14 400
Q = 個
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 14800 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.03/12 = 0.0025
N = m·n = 12·7 = 84
将来価値
FV = 12 000·(1 + 0.0025)84 = 12 000·1.233 = €14 800.26
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 47852 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.07)12 − 1)/0.07 = 17.89
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 2 500·17.89·1.07 = €47 851.61
3.NPV と IRR
答え: NPV = 729.6 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −30 000 + 28 348.07 + 2 381.50 = €729.56
4.NPV と IRR
答え: IRR = 10.91 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−9)/i = 25 000/4 500 = 5.556
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 10%: 5.759
i = 11%: 5.537
IRR = 10.91%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = 201.8 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €70.00, i = 0.03, N = 12
€70.00·(1 − 0.7014)/0.03 + €1 000·0.7014 = €696.78 + €701.38 = €1 398.16
新しい利回りでの価格
C = €70.00, i = 0.015, N = 12
€70.00·(1 − 0.8364)/0.015 + €1 000·0.8364 = €763.53 + €836.39 = €1 599.91
変化
ΔP = 1 599.91 − 1 398.16 = €201.75
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 2.498 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: re = 13.01 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727
WACC の負債の部分
0.2727·5%·(1 − 0.258) = 1.012%
株主資本コスト
re = (10.47% − 1.012%)/0.7273 = 13.01%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.602 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 4 000 000·€35.00 = €140 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
株主資本コスト（CAPM）
re = 1% + 1.1·6.5% = 8.15%
ウェイト
V = €161 000 000, E/V = 0.8696, D/V = 0.1304
WACC
WACC = 0.8696·8.15% + 0.1304·5%·(1 − 0.21) = 7.602%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 750 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (4 000 + 2 000)/8 = 750
10.損益分岐点分析
答え: Q = 2400 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
現在の利益
Π = 1 800·(57 − 45) − 14 400 = €7 200
同じ利益に必要な個数
Q = (14 400 + 7 200)/9 = 2 400