1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 4%、月複利で €1 000 を投資します。9 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 0004% / 12n = 9
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
年 4.2%、月複利で €5 000 を借り、毎月末に €150 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。
P = €5 000A = €1504.2% / 12
N = 回
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €20 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €20 000M = €5 000n = 10r = 12%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €18 500, €10 000, €13 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 10 000CF3 = 13 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 9% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 9%n = 6
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000 の債券が年 2% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、8 年後に満期を迎えます。価格は €776 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 2% (2×)n = 8P = €776
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある会社の株主資本の価値は €8 000 000、負債の価値は €3 000 000 です。WACC は 7.72%、税引前負債コストは 6%、税率は 28% です。株主資本コスト re を求めなさい。
E = €8 000 000D = €3 000 000WACC = 7.72%rd = 6%T = 28%
re = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式のベータは、現在の負債資本比率 0.5 で 1.4 です。負債資本比率を 1.5 に引き上げる計画です。税率は 21%、無リスク金利は 4%、市場リスクプレミアムは 6% です。変更後の株主資本コスト re を求めなさい。
βL = 1.4D/E1 = 0.5D/E2 = 1.5T = 21%rf = 4%rm − rf = 6%
re = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品の単価は €26、1 個あたりの変動費は €18 です。固定費は月 €40 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €8 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
p = €26v = €18F = €40 000T = 20%税引後利益 = €8 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある会社は 7 500 個を各 €65 で販売しており、1 個あたりの変動費は €45、固定費は €100 000 です。販売量が 10% 増加すると、営業利益は何パーセント %ΔΠ 変化しますか？
Q = 7 500p = €65v = €45F = €100 000%ΔQ = +10%
%ΔΠ = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1432 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.04/12 = 0.003333
N = m·n = 12·9 = 108
将来価値
FV = 1 000·(1 + 0.003333)108 = 1 000·1.432 = €1 432.47
2.貨幣の時間価値
答え: N = 36 回
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
年金の公式を変形する
i = 0.0035
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0.0035/150 = 0.8833
対数を使って解く
N = −ln(0.8833)/ln(1.004) = 35.51
返済回数を整数に切り上げる
35 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。
3.NPV と IRR
答え: EAC = 8540 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−10)/0.12 = 5.65
EAC
EAC = 3 539.68 + 5 000 = €8 539.68
4.NPV と IRR
答え: IRR = 33.95 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(30%) = 1 292.67
NPV(35%) = −322.36
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 30 + 5·1 292.67/(1 292.67 − (−322.36)) = 34%
正確な値: NPV(33.95%) = 0 → IRR = 33.95%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 794.8 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €22.50, i = 0.045, N = 12
クーポンの現在価値
€22.50·(1 − 0.5897)/0.045 = €205.17
利回りがクーポンレートより高いので、債券は額面より安く（アンダーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 5.499 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
7.CAPM と WACC
答え: re = 8.995 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727
WACC の負債の部分
0.2727·6%·(1 − 0.28) = 1.178%
株主資本コスト
re = (7.72% − 1.178%)/0.7273 = 8.995%
8.CAPM と WACC
答え: re = 17.16 %
レバードベータ（ハマダの式）：負債があると株式のリスクは高まります。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E) で、βU は負債のない事業のベータです。ベータを別の資本構成に移すには、まずアンレバーし、次に新しい D/E でリレバーします。
ベータをアンレバーする
βU = 1.4/(1 + 0.79·0.5) = 1.004
新しい D/E でリレバーする
βL = 1.004·(1 + 0.79·1.5) = 2.193
株主資本コスト（CAPM）
re = 4% + 2.193·6% = 17.16%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 6250 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
必要な税引前利益
8 000/(1 − 0.2) = €10 000
必要な販売量
Q = (40 000 + 10 000)/8 = 6 250
10.損益分岐点分析
答え: %ΔΠ = 30 %
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益と利益
CM = 7 500·20 = €150 000
Π = 150 000 − 100 000 = €50 000
確認：新しい利益 = 8 250·20 − 100 000 = €65 000.00。