1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
ある不動産は来年 €6 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 3% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 9% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。
C1 = €6 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
16 年間、毎年初めに €1 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 4% です。16 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。
A = €1 000i = 4%n = 16
FV = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。
C0 = €60 000M = €4 000n = 5r = 12%
EAC = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €26 000, €28 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 26 000CF2 = 28 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が 8 年後に満期を迎え、年 1 回クーポンを支払います。最終利回りが 8% のとき €943 で売られています。クーポン利率 c をパーセントで求めなさい。
F = €1 000n = 8P = €943YTM = 8%
c = %
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 6 年後に満期を迎え、€885 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 6P = €885
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €4 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 9%、税引前負債コストは 7%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。
E = €2 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €52.50 の株式 2 000 000 株と、1 口 €1 000 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 4%、税率は 28% です。株式のベータは 0.8、無リスク金利は 3%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。
β = 0.8rf = 3%rm = 7%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある会社は 2 250 個を各 €32 で販売しています。1 個あたりの変動費は €30、固定費は €3 000 です。この販売水準での営業レバレッジ度 DOL を求めなさい。
Q = 2 250p = €32v = €30F = €3 000
DOL =
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €11 で売られ、変動費は 1 個あたり €8、固定費は年 €2 400 です。予算販売量は 1 440 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €2 400p = €11v = €8予算 = 1 440
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 100000 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
成長型永久年金
PV = C1/(r − g) = 6 000/(0.09 − 0.03) = 6 000/0.06 = €100 000.00
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 22698 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
通常の年金係数
((1 + 0.04)16 − 1)/0.04 = 21.82
期首払い年金
各預け入れは 1 年長く運用されます。
FV = 1 000·21.82·1.04 = €22 697.51
3.NPV と IRR
答え: EAC = 20645 €
等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。
年金現価係数
(1 − 1.12−5)/0.12 = 3.605
EAC
EAC = 16 644.58 + 4 000 = €20 644.58
4.NPV と IRR
答え: IRR = 5.85 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(5%) = 612.24
NPV(10%) = −2 809.92
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 5 + 5·612.24/(612.24 − (−2 809.92)) = 5.895%
正確な値: NPV(5.85%) = 0 → IRR = 5.85%
5.債券の価格と利回り
答え: c = 7.008 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
額面の現在価値
1000·(1 + 0.08)−8 = €540.27
クーポン
C = (943 − 540.27)/5.747 = €70.08
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 8.528 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数値的に解く
P(8%) = €907.54, P(9%) = €865.42
YTM = 8.528%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.267 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667
WACC
WACC = 0.3333·9% + 0.6667·7%·(1 − 0.3) = 6.267%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 5.669 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 000 000·€52.50 = €105 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
ウェイト
V = €125 000 000, E/V = 0.84, D/V = 0.16
WACC
WACC = 0.84·6.2% + 0.16·4%·(1 − 0.28) = 5.669%
9.損益分岐点分析
答え: DOL = 3
営業レバレッジ：固定費があると、利益は売上高より大きく反応します。営業レバレッジ度 DOL = 貢献利益 / 営業利益 は、売上高が 1% 変化すると利益が DOL % 変化することを表します。損益分岐点のすぐ上で非常に大きく、売上高が増えるにつれて小さくなります。
貢献利益の合計
CM = 2 250·(32 − 30) = €4 500
営業利益
Π = 4 500 − 3 000 = €1 500
10.損益分岐点分析
答え: MS = 44.44 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 2 400/3 = 800
安全余裕率
MS = (1 440 − 800)/1 440·100 = 44.44%