1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
6 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。
FV = €40 0005% / 4n = 6
PV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
14 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。
A = €3004.2% / 12N = 168
FV = €
3.NPV と IRRふつう
€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€10 000, €15 000, €14 000, €10 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
r = 12%CF0 = −30 000CF1 = 10 000CF2 = 15 000CF3 = 14 000CF4 = 10 000
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
€25 000 の投資が 10 年間、毎年末に €4 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
C0 = €25 000CF = €4 000n = 10
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が年 6% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りが 7% から 9% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 6y1 = 7%y2 = 9%
ΔP = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
残存期間 20 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 9%）が €1 275 で売られています。発行者は 5 年後に €1 090 の償還価格で繰上償還できます。繰上償還利回り YTC をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 9%P = €1 275繰上償還価格 = €1 090繰上償還まで 5 年
YTC = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €3 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 6%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €3 000 000D = €1 000 000re = 12%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある企業は1 株 €35.50 の株式 2 500 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 20 000 口をもっています。税引前負債コストは 7%、税率は 25.8% です。株式のベータは 1.3、無リスク金利は 3%、市場収益率は 9% です。WACC を求めなさい。
β = 1.3rf = 3%rm = 9%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 1 個 €28 で売られ、変動費は 1 個あたり €8 です。固定費は月 €100 000 です。月 €5 000 の利益を得るには、月に何個 Q 売る必要がありますか？
F = €100 000p = €28v = €8利益 = €5 000
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €38 で売られ、変動費は 1 個あたり €18、固定費は年 €20 000 です。予算販売量は 1 300 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €20 000p = €38v = €18予算 = 1 300
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: PV = 29688 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·6 = 24
現在価値
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1.347 = €29 687.88
2.貨幣の時間価値
答え: FV = 68446 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
月利と積立回数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·14 = 168
積立金の将来価値
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(1.799 − 1)/0.0035 = €68 446.00
自分で払い込んだのは €50 400。残りは利息です。
3.NPV と IRR
答え: NPV = 7207 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
各キャッシュフローの現在価値
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 10 000/1.12 = 8 928.57
CF2/(1 + 0.12)2 = 15 000/1.254 = 11 957.91
CF3/(1 + 0.12)3 = 14 000/1.405 = 9 964.92
CF4/(1 + 0.12)4 = 10 000/1.574 = 6 355.18
NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。
4.NPV と IRR
答え: IRR = 9.606 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
必要な年金現価係数
(1 − (1 + i)−10)/i = 25 000/4 000 = 6.25
利率について解く
利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。
i = 9%: 6.418
i = 10%: 6.145
IRR = 9.606%
5.債券の価格と利回り
答え: ΔP = −86.91 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
元の利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.07, N = 6
€60.00·(1 − 0.6663)/0.07 + €1 000·0.6663 = €285.99 + €666.34 = €952.33
新しい利回りでの価格
C = €60.00, i = 0.09, N = 6
€60.00·(1 − 0.5963)/0.09 + €1 000·0.5963 = €269.16 + €596.27 = €865.42
変化
ΔP = 865.42 − 952.33 = −€86.91
6.債券の価格と利回り
答え: YTC = 4.401 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
1275 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
数値的に解く
y = 4%: €1 296.56
y = 5%: €1 243.70
YTC = 4.401%
最終利回りは 6.504% です。オーバーパー債券の投資家は繰上償還を予想するので、低い方の繰上償還利回りの方が現実的です。
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 10.11 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €4 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25
WACC
WACC = 0.75·12% + 0.25·6%·(1 − 0.258) = 10.11%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 9.803 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
時価
E = 2 500 000·€35.50 = €88 750 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
ウェイト
V = €107 950 000, E/V = 0.8221, D/V = 0.1779
WACC
WACC = 0.8221·10.8% + 0.1779·7%·(1 − 0.258) = 9.803%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 5250 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
目標利益のための販売量
Q = (F + 利益)/(p − v) = (100 000 + 5 000)/20 = 5 250
10.損益分岐点分析
答え: MS = 23.08 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 20 000/20 = 1 000
安全余裕率
MS = (1 300 − 1 000)/1 300·100 = 23.08%