コーポレートファイナンス：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

損益分岐点分析

貢献利益: CM = p − v
損益分岐点販売量: Q_BE = FC/(p − v)
目標利益: Q = (FC + profit)/(p − v)
利益: π = (p − v)·Q − FC
安全余裕率: (Q − Q_BE)/Q

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €6 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 4% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €6 000g = 4%r = 6%

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

18 年間、毎月末に €250 を積み立てます。口座の利率は年 5.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €2505.4% / 12N = 216

FV = €

3.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€37 000, €26 000, €32 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 26 000CF₃ = 32 000

NPV = €

4.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €8 000, €5 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €30 000 で、€9 000, €13 000, €15 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 8 000, 5 000B: −30 000, 9 000, 13 000, 15 500

r* = %

5.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、4 年後に満期を迎えます。最終利回りが 3% から 4% に変化します。債券価格はどれだけ ΔP 変化しますか？

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 4y₁ = 3%y₂ = 4%

ΔP = €

6.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4% のクーポンを支払い、6 年後に満期を迎えます。最終利回りは 3% です。マコーレー・デュレーション D を年で求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 6YTM = 3%

D = 年

7.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €12 000 000 の株主資本と時価 €2 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 8%、税引前負債コストは 5%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €56.00 の株式 5 000 000 株と、1 口 €960 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 28% です。株式のベータは 1.5、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 7.5% です。WACC を求めなさい。

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 7.5%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

9.損益分岐点分析ふつう

ある製品の単価は €50、1 個あたりの変動費は €45 です。固定費は月 €20 000 で、利益には 20% の税金がかかります。税引後で €4 000 を稼ぐには、月に何個 Q 売る必要がありますか？

p = €50v = €45F = €20 000T = 20%税引後利益 = €4 000

Q = 個

10.損益分岐点分析むずかしい

ある製品は 1 個 €18 で売られ、変動費は 1 個あたり €12、固定費は年 €12 000 です。予算販売量は 3 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。

F = €12 000p = €18v = €12予算 = 3 000

MS = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 300000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0.06 − 0.04) = 6 000/0.02 = €300 000.00

答え

PV = €300 000.00

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 90970 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·18 = 216

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2.637 − 1)/0.0045 = €90 970.47

答え

FV = €90 970.47

自分で払い込んだのは €54 000。残りは利息です。

3.NPV と IRR

答え: NPV = 4166 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 37 000/1.1 = 33 636.36

CF₂/(1 + 0.1)² = 26 000/1.21 = 21 487.60

CF₃/(1 + 0.1)³ = 32 000/1.331 = 24 042.07

合計する

NPV = €4 166.04

答え

NPV = €4 166.04

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

4.NPV と IRR

答え: r* = 9.082 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 9 000 − 11 500 = −2 500

ΔCF₂ = 13 000 − 8 000 = 5 000

ΔCF₃ = 15 500 − 5 000 = 10 500

差の IRR

NPV_Δ(9%) = 22.75

NPV_Δ(10%) = −251.69

r* = 9.082%

答え

r* = 9.082%

確認：9.082% では両方の NPV が €1 118.21 です。

5.債券の価格と利回り

答え: ΔP = −37.17 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

元の利回りでの価格

C = €40.00, i = 0.03, N = 4

€40.00·(1 − 0.8885)/0.03 + €1 000·0.8885 = €148.68 + €888.49 = €1 037.17

新しい利回りでの価格

C = €40.00, i = 0.04, N = 4

€40.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €145.20 + €854.80 = €1 000.00

変化

ΔP = 1 000.00 − 1 037.17 = −€37.17

答え

ΔP = −€37.17

6.債券の価格と利回り

答え: D = 5.468 年

デュレーション：マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの現在価値を重みとした、債券がキャッシュフローを支払う時点の加重平均です：D = Σ t·PVₜ/P。修正デュレーション D/(1 + y) は、利回りがわずかに変化したときの価格変化率を推定します：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各キャッシュフローの現在価値

t = 1: 40/1.03 = 38.83, t·PV = 38.83

t = 2: 40/1.061 = 37.70, t·PV = 75.41

t = 3: 40/1.093 = 36.61, t·PV = 109.82

t = 4: 40/1.126 = 35.54, t·PV = 142.16

t = 5: 40/1.159 = 34.50, t·PV = 172.52

t = 6: 1040/1.194 = 870.98, t·PV = 5 225.90

デュレーション

P = 1 054.17

D = 5 764.64/1 054.17 = 5.468

答え

D = 5.468 年

7.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.387 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €14 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC

WACC = 0.8571·8% + 0.1429·5%·(1 − 0.258) = 7.387%

答え

WACC = 7.387%

8.CAPM と WACC

答え: WACC = 9.812 %

時価

E = 5 000 000·€56.00 = €280 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.5·5% = 10%

ウェイト

V = €289 600 000, E/V = 0.9669, D/V = 0.03315

WACC

WACC = 0.9669·10% + 0.03315·6%·(1 − 0.28) = 9.812%

答え

WACC = 9.812%

9.損益分岐点分析

答え: Q = 5000 個

CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。

必要な税引前利益

4 000/(1 − 0.2) = €5 000

必要な販売量

Q = (20 000 + 5 000)/5 = 5 000

答え

Q = 5 000 個

10.損益分岐点分析

答え: MS = 33.33 %

損益分岐点販売量

Q = F/(p − v) = 12 000/6 = 2 000

安全余裕率

MS = (3 000 − 2 000)/3 000·100 = 33.33%

答え

MS = 33.33%

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