1公式と解法
貨幣の時間価値
- 将来価値
- FV = PV·(1 + i)n
- 現在価値
- PV = FV/(1 + i)n
- 年に複数の期間
- i = r/m, N = m·n
- 年金現価
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金終価
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
解き方
- すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
- 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
- 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
- 答えの符号と桁を確認します。
NPV と IRR
- 正味現在価値
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 均等なキャッシュフロー
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部収益率
- NPV = 0 となる r
- 判断
- NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用
解き方
- すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
- 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
- それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
- IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。
債券の価格と利回り
- 債券価格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年ごとの利払い
- C/2、y/2、2n 期
- 直接利回り
- C/P
- 価格と利回り
- 利回り上昇 → 価格下落
解き方
- 1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
- 価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
- 半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
- 確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。
CAPM と WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企業価値
- V = E + D
損益分岐点分析
- 貢献利益
- CM = p − v
- 損益分岐点販売量
- QBE = FC/(p − v)
- 目標利益
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利益
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全余裕率
- (Q − QBE)/Q
2演習問題
1.貨幣の時間価値ふつう
名目年利 3.6%、四半期複利で €1 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。
PV = €1 0003.6% / 4n = 6
FV = €
2.貨幣の時間価値むずかしい
€250 000 の住宅ローンを、年 4.2%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。8 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。
P = €250 0004.2% / 12N = 240k = 96
B = €
3.NPV と IRRふつう
ある機械の費用は今日 €60 000 です。7 年間、毎年末に €10 000 を生み、その後 €6 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。
C0 = €60 000CF = €10 000S = €6 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.NPV と IRRむずかしい
あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €23 000, €22 000, €19 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。
CF0 = −50 000CF1 = 23 000CF2 = 22 000CF3 = 19 500
IRR = %
5.債券の価格と利回りふつう
額面 €1 000 の債券が、年 4% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、7 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 3.5% です。 この債券の価格 P を求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 4%YTM = 3.5%n = 7
P = €
6.債券の価格と利回りむずかしい
額面 €1 000、年クーポン 6% の債券が 10 年後に満期を迎え、€1 160 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。
F = €1 000クーポンレート = 6%n = 10P = €1 160
YTM = %
7.CAPM と WACCふつう
ある企業は時価 €5 000 000 の株主資本と時価 €6 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 13%、税引前負債コストは 4%、税率は 25.8% です。WACC を求めなさい。
E = €5 000 000D = €6 000 000re = 13%rd = 4%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM と WACCむずかしい
ある会社の株式は 2 000 000 株で、€39.00 で取引されています。株主資本の簿価は €39 000 000 です。1 株あたり €1.80 の配当を支払ったところで、配当は年 3% 成長します。負債の時価は €62 400 000、税引前コストは 5% です。税率は 21% です。株主資本コストに配当成長モデルを使って、WACC を求めなさい。
N = 2 000 000P0 = €39.00株主資本の簿価 = €39 000 000D0 = €1.80g = 3%D = €62 400 000rd = 5%T = 21%
WACC = %
9.損益分岐点分析ふつう
ある製品は 2 つの方法でつくることができます。方法 A は固定費が年 €10 000、1 個あたりの変動費が €20 です。より自動化された方法 B は固定費が年 €12 500、1 個あたりの変動費が €15 です。年間生産量 Q がいくつのとき、両方の方法の費用が等しくなりますか？
FA = €10 000vA = €20FB = €12 500vB = €15
Q = 個
10.損益分岐点分析むずかしい
ある製品は 1 個 €11 で売られ、変動費は 1 個あたり €8、固定費は年 €12 000 です。予算販売量は 5 000 個です。安全余裕率 MS を予算販売量に対するパーセントで求めなさい。
F = €12 000p = €11v = €8予算 = 5 000
MS = %
3溶液
1.貨幣の時間価値
答え: FV = 1240 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
利率と期間数
i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009
N = m·n = 4·6 = 24
将来価値
FV = 1 000·(1 + 0.009)24 = 1 000·1.24 = €1 239.90
2.貨幣の時間価値
答え: B = 174119 €
貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。
毎月の返済額
i = 0.0035, N = 240
A = 250 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−240) = €1 541.43
残りの支払いの現在価値
まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。
N − k = 240 − 96 = 144
B = 1541·(1 − (1 + 0.0035)−144)/0.0035 = €174 119.05
3.NPV と IRR
答え: NPV = −4435 €
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
NPV
NPV = −60 000 + 52 063.70 + 3 500.94 = −€4 435.36
4.NPV と IRR
答え: IRR = 14.33 %
正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。
IRR を挟み込む
利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。
NPV(10%) = 3 741.55
NPV(15%) = −543.27
絞り込む
線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。
IRR ≈ 10 + 5·3 741.55/(3 741.55 − (−543.27)) = 14.37%
正確な値: NPV(14.33%) = 0 → IRR = 14.33%
5.債券の価格と利回り
答え: P = 1031 €
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
1 期あたり
C = €20.00, i = 0.0175, N = 14
クーポンの現在価値
€20.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €246.44
利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。
6.債券の価格と利回り
答え: YTM = 4.025 %
債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。
利回りの方程式
€1 160 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数値的に解く
P(4%) = €1 162.22, P(5%) = €1 077.22
YTM = 4.025%
7.CAPM と WACC
答え: WACC = 7.528 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
ウェイト
V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455
WACC
WACC = 0.4545·13% + 0.5455·4%·(1 − 0.258) = 7.528%
8.CAPM と WACC
答え: WACC = 6.063 %
資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：re = rf + β·(rm − rf)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。
株主資本コスト
D1 = 1.8·1.03 = €1.85
re = 1.854/39 + 0.03 = 7.754%
時価
E = 2 000 000·€39.00 = €78 000 000
V = €140 400 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·7.754% + 0.4444·5%·(1 − 0.21) = 6.063%
9.損益分岐点分析
答え: Q = 500 個
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
総費用が等しい
10 000 + 20Q = 12 500 + 15Q
Q について解く
Q = (12 500 − 10 000)/(20 − 15) = 500
この量より少なければ方法 A が安く、多ければ自動化された方法 B が安くなります。
10.損益分岐点分析
答え: MS = 20 %
CVP 分析：製品が 1 個売れるごとに、価格から単位変動費を引いた貢献利益が得られます。利益 = Q·(p − v) − F（F は固定費）。損益分岐点では利益がゼロなので、Q = F/(p − v)。
損益分岐点販売量
Q = F/(p − v) = 12 000/3 = 4 000
安全余裕率
MS = (5 000 − 4 000)/5 000·100 = 20%